Encontre a série de Maclaurin de f e seu raio de convergência. Você pode usar o método direto (a definição de série de Maclaurin) ou ou as séries de Maclaurin listadas na Tabela 11.10.1.
f(x)=x^21+x

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de
f(x)=x^21+x
e seu raio de convergência. Vamos usar a série geométrica para construir a expansão em torno de x=0.

Passo 2

Recordando a série geométrica em z:
11+z=sumn=0^infty(-1)^n z^n, |z|<1,
fazemos z=x e multiplicamos por x^2. Assim
f(x)=x^2cdot11+x =x^2sumn=0^infty(-1)^n x^n =sumn=0^infty(-1)^n x^n+2

Passo 3

Para escrever em forma padrão sumk=0^infty ak x^k, fazemos k=n+2. Então n=k-2 e
f(x)=sumk=2^infty(-1)^k-2x^k =sumk=2^infty(-1)^kx^k,
pois (-1)^k-2=(-1)^k.

Passo 4

O raio de convergência é o mesmo da série geométrica original, isto é
R=1

Resposta

A série de Maclaurin de f é
f(x)=sumn=0^infty(-1)^n x^n+2 =x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + cdots,
e seu raio de convergência é R=1.

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