Encontre a solução geral das equações diferencias abaixo:
Passo 1
A gente tem que resolver a equação diferencial de primeira ordem linear \ y’ - \frac{4}{x}y = x^5 e^{x}. Isso cai no tipo y’ + p(x)y = q(x) com p(x) = -\frac{4}{x} e q(x) = x^5 e^{x}. Vamos usar fator integrante para solucionar.
Passo 2
O fator integrante
é dado por
. Aqui temos
Passo 3
Multiplicando a equação original por
, o lado esquerdo vira a derivada de
e o direito fica mais simples:
Passo 4
Integramos ambos os lados:
$$
x^{-4}y = (x - 1)e^x + C.$$
Passo 5
Basta isolar
:
$$
y = x^4\bigl((x - 1)e^x + C\bigr) = x^4(x - 1)e^x + Cx^4.$$
Resposta
y = x^4(x - 1)e^x + C x^4