Encontre a solução geral das equações diferencias abaixo:
y^prime-4x y=x^5 e^x

Passo 1

A gente tem que resolver a equação diferencial de primeira ordem linear \ y’ - \frac{4}{x}y = x^5 e^{x}. Isso cai no tipo y’ + p(x)y = q(x) com p(x) = -\frac{4}{x} e q(x) = x^5 e^{x}. Vamos usar fator integrante para solucionar.

Passo 2

O fator integrante mu(x) é dado por e^integral p(x),dx. Aqui temos
mu(x) = e^integral -4x,dx = e^-4ln x = x^-4

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x)=x^-4, o lado esquerdo vira a derivada de x^-4y e o direito fica mais simples:
x^-4y' - 4x^-5y = ddxl(x^-4yr),
x^-4cdot x^5 e^x = x e^x Portanto a equação transformada é
ddxl(x^-4yr) = x e^x

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral dl(x^-4yr) = integral x e^x dx Usando integração por partes em integral x e^x dx (ou sabendo a primitiva), temos
integral x e^x dx = (x - 1)e^x + C Logo
$$
x^{-4}y = (x - 1)e^x + C.$$

Passo 5

Basta isolar y:
$$
y = x^4\bigl((x - 1)e^x + C\bigr) = x^4(x - 1)e^x + Cx^4.$$

Resposta

y = x^4(x - 1)e^x + C x^4

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