Obtenha a solução geral para a equação diferencial
(2 x+y) d x+(x-2 y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial (2x + y) dx + (x - 2y) dy = 0 Isso está dentro do tópico de equações diferenciais exatas. Primeiro, vamos verificar se ela é exata e, se não for, encontrar um fator integrante para resolver.

Passo 2

Para saber se a equação é exata, a gente identifica as funções $ M(x, y) = 2x + y $ e $ N(x, y) = x - 2y $. Agora, calculamos as derivadas parciais: M(x, y) = 2x + y e N(x, y) = x - 2y .

Passo 3

Calculando partial Mpartial y:
partialpartial y(2x + y) = 1
Calculando partial Npartial x:
partialpartial x(x - 2y) = 1
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação é exata!

Passo 4

Como é exata, existe uma função $ \Psi(x, y) $ tal que:
Psi(x, y)
Integrando $ M $ em relação a $ x $:
partial Psipartial x = M = 2x + y
Aqui, $ h(y) $ é uma função que depende só de $ y $.

Passo 5

Agora, derivamos $ \Psi(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N $:
Psi(x, y)
Resolvendo para $ h’(y) $:
y
Integrando $ h’(y) $ em relação a $ y $:
N
Onde $ C $ é uma constante.

Passo 6

Agora, substituímos $ h(y) $ na função $ \Psi(x, y) $:
h(y)
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é x^2 + x y - y^2 = C, onde $ C $ é uma constante.

Exercícios relacionados