Obtenha a solução geral para a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial
Isso está dentro do tópico de equações diferenciais exatas. Primeiro, vamos verificar se ela é exata e, se não for, encontrar um fator integrante para resolver.
Passo 2
Para saber se a equação é exata, a gente identifica as funções $ M(x, y) = 2x + y $ e $ N(x, y) = x - 2y $. Agora, calculamos as derivadas parciais:
e
.
Passo 3
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a equação é exata!
Passo 4
Como é exata, existe uma função $ \Psi(x, y) $ tal que:
Integrando $ M $ em relação a $ x $:
Aqui, $ h(y) $ é uma função que depende só de $ y $.
Passo 5
Agora, derivamos $ \Psi(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N $:
Resolvendo para $ h’(y) $:
Integrando $ h’(y) $ em relação a $ y $:
Onde $ C $ é uma constante.
Passo 6
Agora, substituímos $ h(y) $ na função $ \Psi(x, y) $:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde $ C $ é uma constante.