Julgue, e justifique, se cada uma das séries abaixo, são convergentes ou divergentes.
sumn=1^+infty raizn+4n^4+4 ( R : converge)

Passo 1

O exercício pede para determinar se a série sumn=1^infty raiztfracn+4n^4+4 converge ou diverge. O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas, em especial o teste de comparação com séries do tipo p-série. Vamos usar a definição de p-série e o teste da comparação limite.

Passo 2

Para ver com qual p-série comparar, note que, para grande n, n+4sim n e n^4+4sim n^4. Logo
raizn+4n^4+4sim raiznn^4=1n^3/2

Passo 3

Agora aplicamos o teste da comparação limite entre an=raiztfracn+4n^4+4 e bn=1/n^3/2. Calculamos
L=limntoinftyanbn=limntoinftyraizn+4n^4+4cdot n^3/2

Passo 4

Para esse limite, escrevendo
raizn+4n^4+4cdot n^3/2=raizn+4,n^3/2raizn^4+4simraizn,n^3/2n^2=1,
obtemos L=1, um número finito e estritamente positivo. Pelo teste da comparação limite, sum an e sum bn têm o mesmo comportamento. Sabemos que a p-série sum 1/n^3/2 converge (pois 3/2>1).

Passo 5

Portanto, por esse teste, a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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