Encontre um fator integrante que torne as EDO’s Pré-exatas abaixo em EDO’s Exatas
(x+2) sen y d x+x cos y d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y) = (x+2)sin y, N(x,y) = xcos y,
e pede um fator integrante que torne essa EDO exata. Vamos usar o critério de fator integrante que depende só de x.

Passo 2

Verificamos se já é exata calculando
partial Mpartial y = (x+2)cos y e partial Npartial x = cos y
Como (x+2)cos y neq cos y em geral, a EDO não é exata.

Passo 3

Para achar mu(x), usamos o teste
partial Mpartial y-partial Npartial xN
deve depender apenas de x. Calculando,
(x+2)cos y - cos yxcos y = (x+2-1)cos yxcos y = x+1x = 1 + 1x
Isso depende só de x, logo há fator integrante mu=mu(x).

Passo 4

O fator integrante é
mu(x) = expl(integrall(1 + 1xr),dxr) = expl(x + ln|x|r) = |x|,e^x
Escolhendo x>0 (ou absorvendo o sinal na constante), fica
mu(x) = x,e^x

Resposta

mu(x) = x,e^x

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