Questảo 2

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Um vendedor de veículos foi questionado sobre a quantidade de veículos que ele vendeu, em determinado mês. Em resposta as suas vendas, ele falou: ao dividir a quantidade de vendas por 3, obtém-se resto 2; ao dividir o quadruplo dessa quantidade por 5, obtém-se resto 3; por fim, ao ser dividida 5 vezes essa quantidade por 11, obtém-se resto 9. Utilizando as informações do vendedor é correto afirmar que o sistema equivalente ao problema exposto e a resposta do problema são respectivamente
Escolha uma opção:
a. sistema com 3 congruências : x equiv 2(bmod 3) 4 x equiv 3(bmod 5) x equiv 15(bmod 11) resposta: x 0=90 veiculos vendidos.
b. sistema com 3 congruências : x equiv 2(bmod 3) x equiv 7(bmod 5) x equiv 15(bmod 11) resposta: x 0=165 veiculos vendidos.
c. sistema com 3 congruências : x equiv 2(bmod 3) 4 x equiv 3(bmod 5) 5 x equiv 9(bmod 11) resposta: x 0=82 veiculos vendidos.
d. sistema com 3 congruências : x equiv 2(bmod 3) x equiv 7(bmod 5) x equiv 15(bmod 11) resposta: x 0=92 veiculos vendidos.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar x (número de veículos vendidos) sabendo que
(i);xequiv2pmod3, (ii);4xequiv3pmod5, (iii);5xequiv9pmod11
O conteúdo usado é o Teorema Chinês dos Restos (CRT) e cálculo de inversos modulares para reduzir as congruências.

Passo 2

Começamos traduzindo diretamente do enunciado as três congruências:
xequiv2pmod3, 4xequiv3pmod5, 5xequiv9pmod11

Passo 3

Reduzimos as duas últimas congruências isolando x:
– Em ;4xequiv3pmod5, o inverso de 4 em Z5 é 4 (pois 4cdot4=16equiv1pmod5), logo
xequiv4cdot3equiv12equiv2pmod5
Podemos escolher como representante xequiv7pmod5, já que 7equiv2pmod5.
– Em ;5xequiv9pmod11, o inverso de 5 em Z11 é 9 (pois 5cdot9=45equiv1pmod11), logo
xequiv9cdot9equiv81equiv4pmod11
Um representante conveniente é xequiv15pmod11.
Assim o sistema equivalente fica
xequiv2pmod3, xequiv7pmod5, xequiv15pmod11

Passo 4

Aplicamos o CRT para
xequiv2pmod3, xequiv7pmod5
Como gcd(3,5)=1, a solução geral é
x=2+3a, 2+3aequiv7pmod5 ;Longrightarrow; 3aequiv5equiv0pmod5 ;Longrightarrow; aequiv0pmod5,
portanto xequiv2pmod15, isto é x=2+15k.
Agora impomos a terceira congruência:
2+15kequiv15pmod11 ;Longrightarrow; 15kequiv13pmod11 ;Longrightarrow; 4kequiv2pmod11 ;Longrightarrow; kequiv6pmod11
Logo a menor solução positiva é
x=2+15cdot6=92

Resposta

d) sistema com 3 congruências : xequiv2pmod3, xequiv7pmod5, xequiv15pmod11 resposta: x0=92 veículos vendidos.

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