Encontre um fator integrante que torne as EDO’s Pré-exatas abaixo em EDO’s Exatas
[4 x^3y^2+3y] d x+[3 xy^2+4 y] d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(4,x^3y^-2 + 3,y^-1r),dx ;+;l(3,x,y^-2 + 4,yr),dy = 0
que não é exata, pois
M(x,y)=4x^3y^-2+3y^-1, N(x,y)=3x y^-2+4y
e
partial Mpartial y=-8x^3y^-3-3y^-2, partial Npartial x=3y^-2,
logo partialyMneqpartialxN. Vamos buscar um fator integrante do tipo mu(y).

Passo 2

Para achar mu(y), usamos a condição
partial N/partial x - partial M/partial yM = g(y)
Calculamos
partial Npartial x-partial Mpartial y =3y^-2 -l(-8x^3y^-3-3y^-2r) =8x^3y^-3+6y^-2,
e
M=4x^3y^-2+3y^-1=y^-2(4x^3+3y),
então
partial N/partial x - partial M/partial yM =8x^3y^-3+6y^-2y^-2(4x^3+3y) =2,y^-3(4x^3+3y)y^-2(4x^3+3y) =2,y^-1
Como isto depende só de y, temos
g(y)=2,y^-1,
de onde
mu(y)=expl(integral g(y),dyr) =expl(2integral y^-1dyr) =expl(2ln yr) =y^2

Passo 3

Logo, o fator integrante procurado é
boxedmu(y)=y^2,
pois multiplicando a EDO original por y^2 obtemos
l(4x^3+3yr),dx + l(3x+4y^3r),dy=0,
que satisfaz
partialy(4x^3+3y)=3=partialx(3x+4y^3), ou seja, fica exata.

Resposta

mu(y)=y^2

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