Q9. Em um experimento de laboratório, observou-se que uma população de bactérias cresce em um meio com recursos ilimitados. Esse crescimento é proporcional à própria população. A equação que representa essa situação é:
onde
representa a população no instante
, e
é a taxa de crescimento. Sabendo que no instante inicial
, a população era
, encontre a função
que descreve a evolução da população ao longo do tempo.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com condição inicial
. O conteúdo é resolução de uma equação diferencial de primeira ordem via separação de variáveis para modelar crescimento exponencial.
Passo 2
Isolamos
e
para integrar:
Agora integramos ambos os lados.
Passo 3
A integração fornece
onde
é constante de integração. Exponenciando:
Definimos
para simplificar.
Passo 4
Aplicando
em
, obtemos
. Assim,