Q9. Em um experimento de laboratório, observou-se que uma população de bactérias cresce em um meio com recursos ilimitados. Esse crescimento é proporcional à própria população. A equação que representa essa situação é:
d Pd t=r P
onde P(t) representa a população no instante t, e r>0 é a taxa de crescimento. Sabendo que no instante inicial t=0, a população era P(0)=P0, encontre a função P(t) que descreve a evolução da população ao longo do tempo.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial dPdt=rP com condição inicial P(0)=P0. O conteúdo é resolução de uma equação diferencial de primeira ordem via separação de variáveis para modelar crescimento exponencial.

Passo 2

Isolamos P e t para integrar:
1P,dPdt=r Longrightarrow 1P,dP=r,dt
Agora integramos ambos os lados.

Passo 3

A integração fornece
integral 1P,dP=integral r,dt Longrightarrow ln|P|=rt+C,
onde C é constante de integração. Exponenciando:
P(t)=e^rt+C=e^Ce^rt
Definimos A=e^C para simplificar.

Passo 4

Aplicando P(0)=P0 em P(0)=A e^rcdot0=A, obtemos A=P0. Assim,
P(t)=P0e^rt

Resposta

P(t)=P0e^rt

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