Questão 3. (3,0 pontos) Dada a função
a) Determine os intervalos onde a função é crescente ou decrescente.
b) Determine os valores máximo e mínimos locais de
.
c) Determine os intervalos onde a concavidade de
é pra cima ou pra baixo e os pontos de inflexão.
b) Determine os valores máximo e mínimos locais de
c) Determine os intervalos onde a concavidade de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: a) onde ela é crescente/decrescente; b) valores de máximos e mínimos locais; c) onde é côncava para cima/para baixo e pontos de inflexão.
Para (a) e (b) vamos usar a derivada primeira e o teste de sinal nos intervalos determinados pelos pontos críticos. Para (c) usamos a derivada segunda
para analisar concavidade e obter pontos de inflexão.
Para (a) e (b) vamos usar a derivada primeira
Passo 2
Calculamos
Os pontos críticos são as raízes de
:
Em cada intervalo testamos o sinal de
:
- Para , ex.:
:
decrescente.
- Para , ex.:
:
crescente.
- Para , ex.:
:
decrescente.
- Para , ex.:
:
crescente.
- Para
- Para
- Para
- Para
Passo 3
Do teste de sinal de
vemos:
- Em ,
passa de negativo para positivo
mínimo local.
- Em ,
passa de positivo para negativo
máximo local.
- Em ,
passa de negativo para positivo
mínimo local.
Calculamos os valores:
- Em
- Em
- Em
Calculamos os valores:
Passo 4
Calculamos
Zeramos
:
Testando o sinal de
:
- Para ,
côncava para baixo.
- Para ,
côncava para cima.
Os pontos de inflexão são .
Calculando
- Para
- Para
Os pontos de inflexão são
Calculando
Resposta
a)
é crescente em
e decrescente em
.
b) Mínimos locais em e
; máximo local em
.
c) Côncava para cima em , côncava para baixo em
; pontos de inflexão em
.
b) Mínimos locais em
c) Côncava para cima em