Questão 3. (3,0 pontos) Dada a função
f(x)=x^4-2 x^2+3
a) Determine os intervalos onde a função é crescente ou decrescente.
b) Determine os valores máximo e mínimos locais de f(x).
c) Determine os intervalos onde a concavidade de f(x) é pra cima ou pra baixo e os pontos de inflexão.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^4-2x^2+3
e pede: a) onde ela é crescente/decrescente; b) valores de máximos e mínimos locais; c) onde é côncava para cima/para baixo e pontos de inflexão.
Para (a) e (b) vamos usar a derivada primeira f'(x) e o teste de sinal nos intervalos determinados pelos pontos críticos. Para (c) usamos a derivada segunda f''(x) para analisar concavidade e obter pontos de inflexão.

Passo 2

Calculamos
f'(x)=ddxl(x^4-2x^2+3r)=4x^3-4x=4x,(x^2-1)=4x,(x-1),(x+1)
Os pontos críticos são as raízes de f'(x)=0:
x=-1, x=0, x=1
Em cada intervalo testamos o sinal de f'(x):
- Para x<-1, ex.: x=-2: f'(-2)<0 Rightarrow decrescente.
- Para -1<x<0, ex.: x=-0,5: f'(-0,5)>0 Rightarrow crescente.
- Para 0<x<1, ex.: x=0,5: f'(0,5)<0 Rightarrow decrescente.
- Para x>1, ex.: x=2: f'(2)>0 Rightarrow crescente.

Passo 3

Do teste de sinal de f'(x) vemos:
- Em x=-1, f' passa de negativo para positivo Rightarrow mínimo local.
- Em x=0, f' passa de positivo para negativo Rightarrow máximo local.
- Em x=1, f' passa de negativo para positivo Rightarrow mínimo local.
Calculamos os valores:
f(-1)=(-1)^4-2(-1)^2+3=1-2+3=2,
f(0)=0^4-2cdot0^2+3=3,
f(1)=1-2+3=2

Passo 4

Calculamos
f''(x)=ddxl(4x^3-4xr)=12x^2-4=4,(3x^2-1)
Zeramos f''(x):
3x^2-1=0Rightarrow x=pm1raiz3
Testando o sinal de f''(x):
- Para |x|<1/raiz3, 3x^2-1<0 Rightarrow f''(x)<0 Rightarrow côncava para baixo.
- Para |x|>1/raiz3, 3x^2-1>0 Rightarrow f''(x)>0 Rightarrow côncava para cima.
Os pontos de inflexão são l(pm1raiz3,,f(pm1raiz3)r).
Calculando
fl(tfrac1raiz3r)=l(tfrac1raiz3r)^4-2l(tfrac1raiz3r)^2+3 =tfrac19-tfrac23+3=tfrac1-6+279=tfrac229

Resposta

a) f é crescente em l(-1,0r)cupl(1,inftyr) e decrescente em l(-infty,-1r)cupl(0,1r).
b) Mínimos locais em l(-1,2r) e l(1,2r); máximo local em l(0,3r).
c) Côncava para cima em l(-infty,-tfrac1raiz3r)cupl(tfrac1raiz3,inftyr), côncava para baixo em l(-tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r); pontos de inflexão em l(pmtfrac1raiz3,,tfrac229r).

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