Encontre uma fatoração L U da matriz dada.
8. \left[\begin{array}{rr}2 & -4 \\\\ 3 & 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre uma fatoração L U da matriz dada.” A matriz fornecida é
A = \begin{pmatrix}2 & -4 \\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}.
Informações relevantes: os elementos da matriz são a_{11}=2, a_{12}=-4, a_{21}=3, a_{22}=1. O objetivo é escrever A como produto de uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U.]
Passo 2
O que significa fatoração L U no caso 2\times2? Vamos fixar a forma que esperamos:
Explicação didática: escolhemos L com 1’s na diagonal (convenção comum, chamada fatoração de Doolittle). O número \ell_{21} é o multiplicador que usaremos para eliminar o elemento abaixo do pivô na primeira coluna. A ideia é que ao multiplicar L por U obtenhamos A.]
Passo 3
Vamos obter U aplicando eliminação gaussiana na primeira coluna. O pivô inicial é u_{11}=a_{11}=2. Para zerar o elemento a_{21}=3 usamos o multiplicador
m_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{3}{2}.
Interpretação: subtraímos m_{21} vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar o 3 e formar o elemento 0 na posição (2,1) de U. Esse m_{21} será o valor de \ell_{21} em L.
Passo 4
Aplicando a operação na segunda linha:
calculemos os novos elementos da segunda linha após subtrair \frac{3}{2} vezes a primeira linha.
Breve revisão: o porquê do 1 na diagonal? Escolhemos essa normalização para que L contenha apenas os multiplicadores abaixo da diagonal; isso é padrão e facilita a reconstrução de A por L U.]
Passo 6
Verificação explícita (sempre bom conferir): multiplicamos L por U e mostramos passo a passo que resulta em A.
Multiplicando:
primeira linha de L vezes colunas de U: