Encontre uma fatoração L U da matriz dada.
8. \left[\begin{array}{rr}2 & -4 \\\\ 3 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre uma fatoração L U da matriz dada.” A matriz fornecida é
A = \begin{pmatrix}2 & -4 \\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}.
Informações relevantes: os elementos da matriz são a_{11}=2, a_{12}=-4, a_{21}=3, a_{22}=1. O objetivo é escrever A como produto de uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U.]

Passo 2

O que significa fatoração L U no caso 2\times2? Vamos fixar a forma que esperamos:
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] \ell_{21} & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12}\\[4pt] 0 & u_{22}\end{pmatrix}.
Explicação didática: escolhemos L com 1’s na diagonal (convenção comum, chamada fatoração de Doolittle). O número \ell_{21} é o multiplicador que usaremos para eliminar o elemento abaixo do pivô na primeira coluna. A ideia é que ao multiplicar L por U obtenhamos A.]

Passo 3

Vamos obter U aplicando eliminação gaussiana na primeira coluna. O pivô inicial é u_{11}=a_{11}=2. Para zerar o elemento a_{21}=3 usamos o multiplicador
m_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{3}{2}.
Interpretação: subtraímos m_{21} vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar o 3 e formar o elemento 0 na posição (2,1) de U. Esse m_{21} será o valor de \ell_{21} em L.

Passo 4

Aplicando a operação na segunda linha:
calculemos os novos elementos da segunda linha após subtrair \frac{3}{2} vezes a primeira linha.
\text{nova entrada }(2,1)=3-\frac{3}{2}\cdot 2 = 3-3 = 0.
\text{nova entrada }(2,2)=1-\frac{3}{2}\cdot(-4) = 1 + 6 = 7.
Portanto a matriz U resultante da eliminação é
U=\begin{pmatrix}2 & -4 \\[4pt] 0 & 7\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora montamos L com o multiplicador calculado na posição (2,1). Ou seja,
L=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] \dfrac{3}{2} & 1\end{pmatrix}.
Breve revisão: o porquê do 1 na diagonal? Escolhemos essa normalização para que L contenha apenas os multiplicadores abaixo da diagonal; isso é padrão e facilita a reconstrução de A por L U.]

Passo 6

Verificação explícita (sempre bom conferir): multiplicamos L por U e mostramos passo a passo que resulta em A.
Multiplicando:
primeira linha de L vezes colunas de U:
(1,0)\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\end{pmatrix}=2,\qquad (1,0)\begin{pmatrix}-4\\[4pt]7\end{pmatrix}=-4.
segunda linha de L vezes colunas de U:
\left(\frac{3}{2},1\right)\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\end{pmatrix}=\frac{3}{2}\cdot 2 + 1\cdot 0 = 3,
\left(\frac{3}{2},1\right)\begin{pmatrix}-4\\[4pt]7\end{pmatrix}=\frac{3}{2}\cdot(-4) + 1\cdot 7 = -6 + 7 = 1.
Resultado do produto:
L U = \begin{pmatrix}2 & -4 \\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix} = A.
Confirmação completa: a fatoração está correta.]

Resposta

L=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] \dfrac{3}{2} & 1\end{pmatrix}
U=\begin{pmatrix}2 & -4 \\[4pt] 0 & 7\end{pmatrix}]

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