Encontre uma fatoração L U da matriz dada.
10. \left[\begin{array}{rrr}2 & 2 & -1 \\\\ 4 & 0 & 4 \\\\ 3 & 4 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma fatoração L U da matriz dada. Ou seja, encontrar matrizes L e U tais que
A = L U,
onde A é a matriz fornecida. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}2 & 2 & -1 \\[4pt] 4 & 0 & 4 \\[4pt] 3 & 4 & 4\end{pmatrix}.
Informações relevantes: queremos decompor A em produto de uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U. Não há nenhuma outra restrição no enunciado (por ex., pivoteamento), então assumiremos que a fatoração sem permutações existe.]

Passo 2

Vou usar o método de Doolittle — é simples e muito usado em provas: escolhemos L com diagonal composta por 1s (matriz triangular inferior unitária) e U triangular superior. A ideia é executar eliminação Gaussiana sobre A para zerar abaixo dos pivôs; os multiplicadores usados nessa eliminação vão formar os elementos de L.
Explicando a fórmula dos multiplicadores (aulas rápidas):
  • Se o pivô atual é u_{kk} (elemento na linha k, coluna k da matriz U que estamos construindo) e queremos zerar a entrada a_{ik} abaixo dele, o multiplicador é
l_{ik}=\frac{a_{ik}}{u_{kk}}.
  • Então fazemos a operação linha i \leftarrow linha i - l_{ik} \times linha k. Esses l_{ik} vão para a posição (i,k) de L. No método Doolittle, colocamos 1s na diagonal de L.
Agora aplicamos isso passo a passo na matriz A.

Passo 3

Primeiro pivô: u_{11}=2 (é o elemento (1,1) de A). Calculamos os multiplicadores para zerar a coluna 1 abaixo do pivô:
  • Para a linha 2:
l_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{4}{2}=2.
Aplicamos a operação linha 2 \leftarrow linha 2 - l_{21}\times linha 1:
Calcule passo a passo os componentes da nova linha 2:
\begin{aligned} \text{entrada (2,1): }& 4 - 2\cdot 2 = 0,\\[4pt] \text{entrada (2,2): }& 0 - 2\cdot 2 = -4,\\[4pt] \text{entrada (2,3): }& 4 - 2\cdot(-1) = 4 + 2 = 6. \end{aligned}
Portanto a nova linha 2 é (0,\,-4,\,6).
  • Para a linha 3:
l_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}=\frac{3}{2}=\frac{3}{2}.
Operação linha 3 \leftarrow linha 3 - l_{31}\times linha 1:
\begin{aligned} \text{entrada (3,1): }& 3 - \tfrac{3}{2}\cdot 2 = 0,\\[4pt] \text{entrada (3,2): }& 4 - \tfrac{3}{2}\cdot 2 = 4 - 3 = 1,\\[4pt] \text{entrada (3,3): }& 4 - \tfrac{3}{2}\cdot(-1) = 4 + \tfrac{3}{2} = \tfrac{11}{2}. \end{aligned}
A nova linha 3 é \bigl(0,\,1,\,\tfrac{11}{2}\bigr).
Após essas duas operações, a matriz que está sendo transformada em U fica:
U^{(1)}=\begin{pmatrix}2 & 2 & -1 \\[4pt] 0 & -4 & 6 \\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{11}{2}\end{pmatrix}.
E já sabemos dois elementos não triviais de L: l_{21}=2 e l_{31}=\tfrac{3}{2}. Em Doolittle temos l_{11}=l_{22}=l_{33}=1.]

Passo 4

Agora usamos o próximo pivô na posição (2,2): u_{22}=-4 (é o elemento (2,2) de U^{(1)}). Precisamos zerar a entrada (3,2) que atualmente vale 1. O multiplicador é
l_{32}=\frac{(U^{(1)})_{32}}{u_{22}}=\frac{1}{-4}=-\tfrac{1}{4}.
Aplicamos a operação linha 3 \leftarrow linha 3 - l_{32}\times linha 2. Observe que l_{32} é negativo, então efetivamente somamos um quarto da linha 2 à linha 3. Façamos as contas:
Terceira linha antes da operação: \bigl(0,\,1,\,\tfrac{11}{2}\bigr). Segunda linha: \bigl(0,\,-4,\,6\bigr).
Cálculo da nova linha 3:
\begin{aligned} \text{entrada (3,2): }& 1 - \bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)\cdot(-4) = 1 - \tfrac{1}{4}\cdot 4 = 1 - 1 = 0,\\[6pt] \text{entrada (3,3): }& \tfrac{11}{2} - \bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)\cdot 6 = \tfrac{11}{2} + \tfrac{6}{4} = \tfrac{11}{2} + \tfrac{3}{2} = \tfrac{14}{2} = 7. \end{aligned}
(A entrada (3,1) já é zero e permanece zero.)
Assim obtemos a última linha de U como (0,\,0,\,7). Logo a matriz triangular superior U final é
U=\begin{pmatrix}2 & 2 & -1 \\[4pt] 0 & -4 & 6 \\[4pt] 0 & 0 & 7\end{pmatrix}.
E o multiplicador calculado foi l_{32}=-\tfrac{1}{4}, que vai para L na posição (3,2).]

Passo 5

Agora montamos a matriz L. Em Doolittle, L tem 1s na diagonal e os multiplicadores nas posições abaixo da diagonal. Reunindo:
\begin{aligned} l_{21}&=2,\\[4pt] l_{31}&=\tfrac{3}{2},\\[4pt] l_{32}&=-\tfrac{1}{4}. \end{aligned}
Portanto
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & 1 & 0 \\[4pt] \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{4} & 1 \end{pmatrix}.
Como verificação rápida (importante para ganhar confiança): multiplicamos L por U e verificamos que voltamos a A.
Cálculo de L U por blocos de linhas:
  • Primeira linha de L vezes U: (1,0,0)\cdot U dá a primeira linha de U, que é (2,\,2,\,-1) — confere com A.
  • Segunda linha de L vezes U: (2,1,0)\cdot U significa 2 vezes a primeira linha de U mais 1 vez a segunda linha de U:
2\cdot(2,2,-1) + 1\cdot(0,-4,6) = (4,4,-2) + (0,-4,6) = (4,0,4),
que é a segunda linha de A.
  • Terceira linha de L vezes U: \bigl(\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{4},1\bigr)\cdot U. Façamos componente a componente:
\begin{aligned} \text{coluna 1: }& \tfrac{3}{2}\cdot 2 + \bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)\cdot 0 + 1\cdot 0 = 3,\\[4pt] \text{coluna 2: }& \tfrac{3}{2}\cdot 2 + \bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)\cdot(-4) + 1\cdot 0 = 3 + 1 = 4,\\[4pt] \text{coluna 3: }& \tfrac{3}{2}\cdot(-1) + \bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)\cdot 6 + 1\cdot 7 = -\tfrac{3}{2} - \tfrac{6}{4} + 7 = -\tfrac{3}{2} - \tfrac{3}{2} + 7 = 7 - 3 = 4. \end{aligned}
Isso dá a terceira linha (3,4,4) — confere com A.
Portanto a fatoração está correta.]

Resposta

L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & 1 & 0 \\[4pt] \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{4} & 1 \end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\[4pt] 0 & -4 & 6 \\[4pt] 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}.]

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