Informações relevantes: queremos decompor A em produto de uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U. Não há nenhuma outra restrição no enunciado (por ex., pivoteamento), então assumiremos que a fatoração sem permutações existe.]
Passo 2
Vou usar o método de Doolittle — é simples e muito usado em provas: escolhemos L com diagonal composta por 1s (matriz triangular inferior unitária) e U triangular superior. A ideia é executar eliminação Gaussiana sobre A para zerar abaixo dos pivôs; os multiplicadores usados nessa eliminação vão formar os elementos de L.
Explicando a fórmula dos multiplicadores (aulas rápidas):
Se o pivô atual é u_{kk} (elemento na linha k, coluna k da matriz U que estamos construindo) e queremos zerar a entrada a_{ik} abaixo dele, o multiplicador é
l_{ik}=\frac{a_{ik}}{u_{kk}}.
Então fazemos a operação linha i \leftarrow linha i- l_{ik}\times linha k. Esses l_{ik} vão para a posição (i,k) de L. No método Doolittle, colocamos 1s na diagonal de L.
Agora aplicamos isso passo a passo na matriz A.
Passo 3
Primeiro pivô: u_{11}=2 (é o elemento (1,1) de A). Calculamos os multiplicadores para zerar a coluna 1 abaixo do pivô:
Para a linha 2:
l_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{4}{2}=2.
Aplicamos a operação linha 2 \leftarrow linha 2 - l_{21}\times linha 1:
Calcule passo a passo os componentes da nova linha 2:
E já sabemos dois elementos não triviais de L: l_{21}=2 e l_{31}=\tfrac{3}{2}. Em Doolittle temos l_{11}=l_{22}=l_{33}=1.]
Passo 4
Agora usamos o próximo pivô na posição (2,2): u_{22}=-4 (é o elemento (2,2) de U^{(1)}). Precisamos zerar a entrada (3,2) que atualmente vale 1. O multiplicador é
Aplicamos a operação linha 3 \leftarrow linha 3 - l_{32}\times linha 2. Observe que l_{32} é negativo, então efetivamente somamos um quarto da linha 2 à linha 3. Façamos as contas:
Terceira linha antes da operação: \bigl(0,\,1,\,\tfrac{11}{2}\bigr). Segunda linha: \bigl(0,\,-4,\,6\bigr).