Encontre as fatorações, em potências de primos dos inteiros: 10^{6}-1,10^{8}-1,2^{20}-1, 2^{10}+1,2^{12}+4.

Passo 1

O enunciado pede para fatorar em primos, com expoentes, os números 10^{6}-1, 10^{8}-1, 2^{20}-1, 2^{10}+1 e 2^{12}+4.
Vamos usar as fórmulas de diferença e soma de potências, além de divisões sucessivas para chegar aos fatores primos.

Passo 2

Fatorando 10^{6}-1 por diferença de quadrados:
10^{6}-1 = (10^{3}-1)(10^{3}+1).
Para 10^{3}-1 usamos diferença de cubos a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) com a=10, b=1:
10^{3}-1 = (10-1)(10^2+10\cdot1+1^2) = 9\cdot111 = 9\cdot(3\cdot37) = 3^3\cdot37.
Para 10^{3}+1 usamos soma de cubos a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2):
10^{3}+1 = (10+1)(10^2-10\cdot1+1^2) = 11\cdot91 = 11\cdot(7\cdot13).
Logo
10^{6}-1 = 3^3\cdot37\;\times\;7\cdot11\cdot13.

Passo 3

Fatorando 10^{8}-1 por diferença de quadrados:
10^{8}-1 = (10^{4}-1)(10^{4}+1).
Para 10^{4}-1 aplicamos diferença de quadrados outra vez:
10^{4}-1 = (10^{2}-1)(10^{2}+1) = 99\cdot101 = (9\cdot11)\cdot101 = 3^2\cdot11\cdot101.
Para 10^{4}+1 = 10001 faz-se divisão por primos pequenos e acha-se
10001 = 73\cdot137.
Portanto
10^{8}-1 = 3^2\cdot11\cdot101\;\times\;73\cdot137.

Passo 4

Fatorando 2^{20}-1 por diferença de quadrados:
2^{20}-1 = (2^{10}-1)(2^{10}+1) = 1023\cdot1025.
Para 1023 = 2^{10}-1 reconhecemos
1023 = 3\cdot341 = 3\cdot(11\cdot31) = 3\cdot11\cdot31.
Para 1025 = 2^{10}+1 (já veremos melhor no Passo 5) temos
1025 = 5^2\cdot41.
Assim
2^{20}-1 = 3\cdot11\cdot31\;\times\;5^2\cdot41.

Passo 5

Fatorando diretamente 2^{10}+1 = 1024+1 = 1025 por divisão por 5:
1025 = 5\cdot205 = 5\cdot(5\cdot41) = 5^2\cdot41.

Passo 6

Para 2^{12}+4 escrevemos 2^{12}+4 = 4\,(2^{10}+1). Já sabemos que 2^{10}+1=1025=5^2\cdot41, logo
2^{12}+4 = 4\cdot1025 = 2^2\cdot5^2\cdot41.

Resposta

10^{6}-1 = 3^{3}\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37 10^{8}-1 = 3^{2}\cdot11\cdot73\cdot101\cdot137 2^{20}-1 = 3\cdot5^{2}\cdot11\cdot31\cdot41 2^{10}+1 = 5^{2}\cdot41 2^{12}+4 = 2^{2}\cdot5^{2}\cdot41

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