Sejam
e
inteiros positivos. Mostre que
se, e somente se,
e
.
Passo 1
O enunciado diz: sejam
inteiros positivos. Provar que
se, e somente se,
e
.
O conteúdo é divisibilidade e a definição de mínimo múltiplo comum: é um múltiplo comum de
e
e todo outro múltiplo comum de
e
é múltiplo de
.
O conteúdo é divisibilidade e a definição de mínimo múltiplo comum:
Passo 2
(Prova do “só se”) Suponha
. Como
e
, pela transitividade da divisibilidade segue
De modo idêntico,
e
implicam
Passo 3
(Prova do “se”) Suponha agora
e
. Então
é um múltiplo comum de
e
. Pela definição de
como o menor múltiplo comum, qualquer múltiplo comum de
e
, em particular
, é múltiplo de
. Logo,
Resposta
Fica assim mostrado que
se, e somente se,
e
.