Sejam a, b e c inteiros positivos. Mostre que m m c(a, b) \mid c se, e somente se, a \mid c e b \mid c.

Passo 1

O enunciado diz: sejam a,b,c inteiros positivos. Provar que
\mathrm{mmc}(a,b)\mid c
se, e somente se, a\mid c e b\mid c.
O conteúdo é divisibilidade e a definição de mínimo múltiplo comum: \mathrm{mmc}(a,b) é um múltiplo comum de a e b e todo outro múltiplo comum de a e b é múltiplo de \mathrm{mmc}(a,b).

Passo 2

(Prova do “só se”) Suponha \mathrm{mmc}(a,b)\mid c. Como a\mid \mathrm{mmc}(a,b) e \mathrm{mmc}(a,b)\mid c, pela transitividade da divisibilidade segue a\mid c. De modo idêntico, b\mid \mathrm{mmc}(a,b) e \mathrm{mmc}(a,b)\mid c implicam b\mid c.

Passo 3

(Prova do “se”) Suponha agora a\mid c e b\mid c. Então c é um múltiplo comum de a e b. Pela definição de \mathrm{mmc}(a,b) como o menor múltiplo comum, qualquer múltiplo comum de a e b, em particular c, é múltiplo de \mathrm{mmc}(a,b). Logo,
\mathrm{mmc}(a,b)\mid c.

Resposta

Fica assim mostrado que \mathrm{mmc}(a,b)\mid c se, e somente se, a\mid c e b\mid c.

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