\int \frac{4 x^{2}-3 x+3}{\left(x^{2}-2 x+2\right)(x+1)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{4x^{2}-3x+3}{\bigl(x^{2}-2x+2\bigr)(x+1)}\,dx
usando o método de frações parciais, típico para funções racionais cujo grau do numerador é menor que o grau do denominador.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais da forma
\frac{4x^{2}-3x+3}{(x^{2}-2x+2)(x+1)} =\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}-2x+2}.
Multiplicando ambos os lados por (x^{2}-2x+2)(x+1), obtemos
4x^{2}-3x+3 = A\bigl(x^{2}-2x+2\bigr)+(Bx+C)(x+1).

Passo 3

Expandindo o lado direito e agrupando coeficientes em x^{2}\), \(x\) e termo constante, temos \[A x^{2}-2A x+2A + Bx^{2}+Bx+Cx+C =(A+B)x^{2}+(-2A+B+C)x+(2A+C).
Igualando com 4x^{2}-3x+3 obtemos o sistema
\begin{cases} A+B=4,\\\\ -2A+B+C=-3,\\\\ 2A+C=3. \end{cases}
Dessa forma A=2\], \(B=2 e C=-1.

Passo 4

Logo a integral fica
\int \frac{4x^{2}-3x+3}{(x^{2}-2x+2)(x+1)}\,dx =\int \frac{2}{x+1}\,dx +\int \frac{2x-1}{x^{2}-2x+2}\,dx.

Passo 5

Para a primeira parte,
\int \frac{2}{x+1}\,dx =2\ln\lvert x+1\rvert.
Para a segunda parte, note que
2x-1 = 2(x-1)+1, \quad x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1.
Então
\int \frac{2x-1}{x^{2}-2x+2}\,dx =\int \frac{2(x-1)}{(x-1)^{2}+1}\,dx +\int \frac{1}{(x-1)^{2}+1}\,dx.
No primeiro termo fazemos u=(x-1)^{2}+1, du=2(x-1)\,dx, obtendo \ln\bigl((x-1)^{2}+1\bigr).
No segundo termo, é integral de \frac{1}{u^{2}+1}, dando \arctan(x-1).

Passo 6

Somando tudo e incluindo a constante de integração C, o resultado final é
2\ln\lvert x+1\rvert +\ln\bigl(x^{2}-2x+2\bigr) +\arctan(x-1) + C.

Resposta

2\ln\lvert x+1\rvert +\ln\bigl(x^{2}-2x+2\bigr) +\arctan(x-1) + C.

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