Mostre que, se
e
são inteiros, então
. Sob quia condições
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer inteiros
e
,
e perguntar em que situação
Vamos usar a fatoração pelo máximo divisor comum e a relação clássica entre
e
.
Passo 2
Seja
. Pelas propriedades do
, existem inteiros
e
tais que
Isto é, extraímos de
e
o seu maior divisor comum.
Passo 3
Uma fórmula bem-conhecida diz que
Substituindo
e
nessa relação, obtemos
Dividindo ambos os lados por
, vem
Passo 4
Como na expressão acima
, fica claro que
Isso prova a primeira parte:
.
Passo 5
Para que haja igualdade
, precisamos de
Como
e
são inteiros positivos e coprimos, a única forma de
é
. Portanto
ou seja,
.
Resposta
A) Para quaisquer inteiros
e
, vale
.
B) Além disso, se, e somente se,
.
B) Além disso,