Mostre que, se a e b são inteiros, então m d c(a, b) \mid m m c(a, b). Sob quia condições m d c(a, b)=m m c(a, b) ?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer inteiros a e b,
\gcd(a,b)\mid \operatorname{lcm}(a,b),
e perguntar em que situação
\gcd(a,b)=\operatorname{lcm}(a,b).
Vamos usar a fatoração pelo máximo divisor comum e a relação clássica entre \gcd e \operatorname{lcm}.

Passo 2

Seja d=\gcd(a,b). Pelas propriedades do \gcd, existem inteiros a' e b' tais que
a = d\,a', \quad b = d\,b', \quad \gcd(a',b')=1.
Isto é, extraímos de a e b o seu maior divisor comum.

Passo 3

Uma fórmula bem-conhecida diz que
\gcd(a,b)\,\operatorname{lcm}(a,b) = |a\,b|.
Substituindo a=d\,a' e b=d\,b' nessa relação, obtemos
d\;\operatorname{lcm}(a,b) = |d\,a'\cdot d\,b'| = d^2\,|a'\,b'|.
Dividindo ambos os lados por d, vem
\operatorname{lcm}(a,b)=d\,|a'\,b'|.

Passo 4

Como na expressão acima \operatorname{lcm}(a,b)=d\cdot(|a'\,b'|), fica claro que
d=\gcd(a,b)\quad\text{divide}\quad \operatorname{lcm}(a,b).
Isso prova a primeira parte: \gcd(a,b)\mid\operatorname{lcm}(a,b).

Passo 5

Para que haja igualdade \gcd(a,b)=\operatorname{lcm}(a,b), precisamos de
d = d\,|a'\,b'| \quad\Longrightarrow\quad |a'\,b'|=1.
Como a' e b' são inteiros positivos e coprimos, a única forma de |a'\,b'|=1 é a'=b'=1. Portanto
a = d\,a' = d, \quad b = d\,b' = d,
ou seja, |a|=|b|.

Resposta

A) Para quaisquer inteiros a e b, vale \gcd(a,b)\mid\operatorname{lcm}(a,b).
B) Além disso, \gcd(a,b)=\operatorname{lcm}(a,b) se, e somente se, |a|=|b|.

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