Encontre o fluxo do campo \mathbf{F} através da porção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} no primeiro octante no sentido oposto à origem.
\mathbf{F}(x, y, z)=-y \mathbf{i}+x \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo \mathbf{F} através da porção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} que está no primeiro octante (ou seja, x\ge0, y\ge0, z\ge0). O campo vetorial dado é
\mathbf{F}(x,y,z) = -y\,\mathbf{i} + x\,\mathbf{j}.
A orientação da superfície é “no sentido oposto à origem”, ou seja, a normal apontando para fora do centro da esfera (afastando-se da origem). O que se pede é o valor do integral de superfície (fluxo)
\iint_{S} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde S é essa porção da esfera e \mathbf{n} é o versor normal compatível com a orientação indicada.

Passo 2

Lembrando a definição: o fluxo de um campo \mathbf{F} através de uma superfície orientada S é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde \mathbf{n} é o vetor normal unitário (versor) escolhido e dS é o elemento de área da superfície. Aqui precisamos identificar \mathbf{n} para a esfera e calcular \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} antes de integrar.

Passo 3

Para a esfera de raio a centrada na origem, o vetor radial em um ponto (x,y,z) é (x,y,z). O versor normal apontando para fora da origem (isto é, afastando-se da origem) é o radial unitário:
\mathbf{n} = \frac{(x,y,z)}{a} = \frac{x}{a}\,\mathbf{i} + \frac{y}{a}\,\mathbf{j} + \frac{z}{a}\,\mathbf{k}.
Aqui expliquei: dividimos o vetor posição pelo raio a para obter um vetor de comprimento 1 apontando para fora.

Passo 4

Calcule o produto escalar \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}. Substituindo \mathbf{F} e \mathbf{n} temos
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = (-y)\cdot\frac{x}{a} + x\cdot\frac{y}{a} + 0\cdot\frac{z}{a}.
Agora simplifico:
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = -\frac{xy}{a} + \frac{xy}{a} = 0.
Portanto, em todo ponto da esfera temos \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=0.

Passo 5

Como o integrando \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} é zero em toda a superfície S, o fluxo é a integral de zero sobre a porção da esfera, logo
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_{S} 0 \, dS = 0.
Intuitivamente: o campo \mathbf{F} = (-y,x,0) é tangente às esferas centradas na origem (é um campo de rotação em torno do eixo z), então não “percorre” a superfície radialmente — não atravessa a esfera — por isso o fluxo é zero.

Passo 6

Observação alternativa (curiosa e rápida): a divergência de \mathbf{F} também é zero, pois
\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial(-y)}{\partial x} + \frac{\partial(x)}{\partial y} + \frac{\partial(0)}{\partial z} = 0+0+0=0,
o que é coerente com o fato de não haver fonte líquida atravessando superfícies fechadas; mas a razão direta e mais simples aqui foi usar que \mathbf{F} é sempre ortogonal ao normal radial da esfera.

Resposta

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