Encontre o fluxo do campo
através da porção da esfera
no primeiro octante no sentido oposto à origem.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo
através da porção da esfera
que está no primeiro octante (ou seja,
,
,
). O campo vetorial dado é
A orientação da superfície é “no sentido oposto à origem”, ou seja, a normal apontando para fora do centro da esfera (afastando-se da origem). O que se pede é o valor do integral de superfície (fluxo)
onde
é essa porção da esfera e
é o versor normal compatível com a orientação indicada.
Passo 2
Lembrando a definição: o fluxo de um campo
através de uma superfície orientada
é
onde
é o vetor normal unitário (versor) escolhido e
é o elemento de área da superfície. Aqui precisamos identificar
para a esfera e calcular
antes de integrar.
Passo 3
Para a esfera de raio
centrada na origem, o vetor radial em um ponto
é
. O versor normal apontando para fora da origem (isto é, afastando-se da origem) é o radial unitário:
Aqui expliquei: dividimos o vetor posição pelo raio
para obter um vetor de comprimento
apontando para fora.
Passo 4
Calcule o produto escalar
. Substituindo
e
temos
Agora simplifico:
Portanto, em todo ponto da esfera temos
.
Passo 5
Como o integrando
é zero em toda a superfície
, o fluxo é a integral de zero sobre a porção da esfera, logo
Intuitivamente: o campo
é tangente às esferas centradas na origem (é um campo de rotação em torno do eixo
), então não “percorre” a superfície radialmente — não atravessa a esfera — por isso o fluxo é zero.
Passo 6
Observação alternativa (curiosa e rápida): a divergência de
também é zero, pois
o que é coerente com o fato de não haver fonte líquida atravessando superfícies fechadas; mas a razão direta e mais simples aqui foi usar que
é sempre ortogonal ao normal radial da esfera.