Calcule integral duplaS x z d S, onde S é a parte do plano 2 x+2 y+z=4 que está no primeiro octante. Resp: 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaS x z , dS. O enunciado nos diz que S é a parte do plano 2x + 2y + z = 4 que está no primeiro octante. Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície, e entender como parametrizar uma superfície plana.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites da região no primeiro octante. No primeiro octante, x, y e z são todos positivos ou zero. Vamos encontrar onde o plano intercepta os eixos:
  • Quando y = 0 e z = 0: 2x = 4 então x = 2.
  • Quando x = 0 e z = 0: 2y = 4 então y = 2.
  • Quando x = 0 e y = 0: z = 4.
Então, a região S é um triângulo com vértices em (2,0,0), (0,2,0) e (0,0,4).

Passo 3

Vamos expressar z em função de x e y a partir da equação do plano: z = 4 - 2x - 2y. Isso nos permite escrever a integral dupla em termos de x e y.

Passo 4

A integral integral duplaS x z , dS pode ser reescrita como integral duplaD x (4 - 2x - 2y) raiz(2)^2 + (2)^2 + (1)^2 , dx , dy, onde D é a projeção de S no plano xy. O termo raiz2^2 + 2^2 + 1^2 = raiz9 = 3 é o fator de escala para a área.

Passo 5

Simplificando, temos integral duplaD x (4 - 2x - 2y) cdot 3 , dx , dy = 3 integral duplaD (4x - 2x^2 - 2x y) , dx , dy.

Passo 6

Agora, vamos determinar os limites de integração. A região D no plano xy é o triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (0,2). Para x de 0 a 2, y varia de 0 a 2 - x.

Passo 7

Assim, a integral fica:
3 integral0^2 integral0^2 - x (4x - 2x^2 - 2x y) , dy , dx

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em relação a y:
integral0^2 - x (4x - 2x^2 - 2x y) , dy = [4x y - 2x^2 y - x y^2 ]0^2 - x
Substituindo:
4x (2 - x) - 2x^2 (2 - x) - x (2 - x)^2

Passo 9

Expandindo e simplificando:
8x - 4x^2 - 4x^2 + 2x^3 - x (4 - 4x + x^2) = 8x - 8x^2 + 2x^3 - 4x + 4x^2 - x^3 = 4x - 4x^2 + x^3

Passo 10

Agora, a integral externa:
3 integral0^2 (4x - 4x^2 + x^3) , dx = 3 [2x^2 - 43x^3 + 14x^4 ]0^2
Calculando:
3 [2(4) - 43(8) + 14(16) ] = 3 [8 - 323 + 4 ] = 3 [243 - 323 + 123 ] = 3 [43] = 4

Resposta

4

Exercícios relacionados