Calcule
, onde
é a parte do plano
que está no primeiro octante. Resp: 4
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
. O enunciado nos diz que
é a parte do plano
que está no primeiro octante. Vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície, e entender como parametrizar uma superfície plana.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites da região no primeiro octante. No primeiro octante,
,
e
são todos positivos ou zero. Vamos encontrar onde o plano intercepta os eixos:
- Quando
e : então . - Quando
e : então . - Quando
e : .
Então, a região
é um triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 3
Vamos expressar
em função de
e
a partir da equação do plano:
. Isso nos permite escrever a integral dupla em termos de
e
.
Passo 4
A integral
pode ser reescrita como
, onde
é a projeção de
no plano
. O termo
é o fator de escala para a área.
Passo 5
Simplificando, temos
.
Passo 6
Agora, vamos determinar os limites de integração. A região
no plano
é o triângulo com vértices em
,
e
. Para
de
a
,
varia de
a
.
Passo 7
Assim, a integral fica:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Substituindo:
Passo 9
Expandindo e simplificando:
Passo 10
Agora, a integral externa:
Calculando:
Resposta
4