Encontre o fluxo do campo vetorial F ao longo da porção de superfície, levando em consideração o sentido especificado:
F(x, y, z)=y x^2 i-2 j+x z k e superfície retangular S: y=0, restrito a -1 <= x <= 2, 2 <= z <= 7, e sentido -j.

Passo 1

A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial F(x,y,z)=yx^2,i-2,j+xz,k através da superfície plana S:,y=0 no retângulo -1<= x<=2,,2<= z<=7, com orientação no sentido de -j. O conteúdo envolve integral de superfície (fluxo) de campos vetoriais e uso de produto escalar com a normal.

Passo 2

Para calcular o fluxo usamos a definição
Phi=integral duplaSFcdot n,dS
Como S é o plano y=0 e a orientação é -j, o vetor normal unitário é n=-j e como é uma superfície plana temos dS=dx,dz.

Passo 3

Substituímos o campo em y=0:
F(x,0,z)=0,i-2,j+xz,k
Fazendo o produto escalar com a normal:
Fcdot n=(0, -2, xz)cdot(0,-1,0)=(-2)times(-1)=2

Passo 4

O integrando ficou constante igual a 2, então o fluxo é
Phi=integralx=-1^2integralz=2^72,dz,dx =2times(2-(-1))times(7-2)=2times3times5=30

Resposta

30

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