Seja f(x, y)=5+raiz1-x^2-y^2. Esboce o gráfico de f

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função de duas variáveis f(x,y)=5+raiz1-x^2-y^2. O conteúdo envolve superfícies em R^3 definidas por funções com raiz quadrada e reconhecer formas geométricas (no caso, parte de uma esfera). Para resolver, vamos precisar achar o domínio, escrever z=f(x,y) e interpretar a equação resultante em termos de superfícies conhecidas.

Passo 2

Precisamos garantir que o radicando seja não-negativo, isto é, 1 - x^2 - y^2 >= 0. Assim, o domínio de f é o disco unitário no plano xy:
x^2 + y^2 <= 1
Isso significa que o gráfico só existe sobre esse disco.

Passo 3

Agora reescrevemos z=f(x,y) colocando z-5 sozinho:
z = 5 + raiz1 - x^2 - y^2
Logo
(z - 5)^2 = 1 - (x^2 + y^2)
e, portanto,
x^2 + y^2 + (z - 5)^2 = 1,
com a condição z - 5 >= 0. Isso é exatamente a parte superior (hemisfério) de uma esfera de raio 1, centrada em (0,0,5).

Passo 4

Para esboçar, imagine um domo esférico sobre o disco unitário: o ponto mais alto é em (0,0) com z=6, e na borda do disco x^2+y^2=1 temos z=5. Trace círculos concêntricos na projeção no plano xy correspondendo a fatias de altura decrescente de 6 até 5.

Passo 5

O desenho final é um hemisfério de raio 1 centrado em (0,0,5), apoiado sobre o disco x^2+y^2<=1 no plano z=5, subindo até o vértice (0,0,6).

Resposta

O gráfico é o hemisfério superior da esfera de raio 1 centrada em (0,0,5), dado por
x^2 + y^2 + (z-5)^2 = 1,
com z>=5, apoiado sobre o disco x^2+y^2<=1 no plano z=5, atingindo o ponto mais alto (0,0,6).

Exercícios relacionados