Encontre o fluxo do campo vetorial
através da superfície
na direção dada por um campo dos vetores normais
:
, o lado lateral,
é a exterior.
Passo 1
O que o exercício pede e os dados que temos.
- Pedido: calcular o fluxo
onde
é o lado lateral do cone dado por
, com
, e
é o vetor normal exterior (ou seja, apontando para fora do volume interno do cone).
- Campo vetorial dado:
- Superfície
: lateral do cone com vértice na origem e altura (na altura a geratriz do cone tem raio ).
A nossa incógnita é somente o fluxo através da superfície lateral do cone, com normal exterior.
Passo 2
Escolha do método. Vou usar o Teorema da Divergência (Gauss) porque ele relaciona o fluxo total através de uma superfície fechada ao integral do divergente sobre o volume interno. Aqui podemos fechar a superfície lateral do cone adicionando o disco plano no topo
. Assim:
- Fluxo total pela superfície fechada (lateral + disco superior) = integral do divergente sobre o volume
do cone. - Então posso calcular a integral do divergente sobre
e a contribuição do disco superior separadamente, e obter a contribuição da lateral por subtração.
Essa escolha é conveniente e torna as contas simples.
Passo 3
Aplicando o Teorema da Divergência. Primeiro calculo o divergente de
:
Calculando cada termo:
Logo
Pelo Teorema da Divergência:
onde
é a superfície fechada composta pela lateral
(com normal exterior) mais o disco superior
em
(também com normal exterior).
Passo 4
Calculo do integral volumétrico
. Como
,
Vou calcular
usando coordenadas cilíndricas
, com
. Para o cone
com
temos
,
,
. O elemento de volume é
. Assim:
Faço a integral em
:
Logo
Portanto
Passo 5
Calculo do fluxo através do disco superior
(o disco de raio
em
). Precisamos do fluxo com a orientação exterior do volume: para o disco superior a normal exterior aponta para cima, isto é
. Em
, o campo vale
O produto escalar com a normal do disco é
Então o fluxo pelo disco é
O disco tem raio
, então
. Assim
(Se preferir ver como integral polar:
.)
Passo 6
Agora uso a relação do Teorema da Divergência para a superfície fechada:
onde o primeiro termo à direita é justamente o fluxo pela lateral
que queremos. Então
Substituindo os valores encontrados:
Portanto o fluxo através da superfície lateral do cone, com normal exterior, é
.