Encontre o fluxo do campo vetorial vec{F} através da superfície S na direção dada por um campo dos vetores normais vec{n} :
\iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d S
\vec{F}=(y,-x,-z), \quad S: x^{2}+y^{2}=z^{2}, 0 \leq z \leq 1, o lado lateral, \vec{n} é a exterior.

Passo 1

O que o exercício pede e os dados que temos.
  • Pedido: calcular o fluxo
\iint_{S} \vec{F}\cdot\vec{n}\,dS
onde S é o lado lateral do cone dado por x^{2}+y^{2}=z^{2}, com 0\le z\le 1, e \vec{n} é o vetor normal exterior (ou seja, apontando para fora do volume interno do cone).
  • Campo vetorial dado:
\vec{F}=(y,-x,-z).
  • Superfície S: lateral do cone com vértice na origem e altura 1 (na altura z=1 a geratriz do cone tem raio 1).
    A nossa incógnita é somente o fluxo através da superfície lateral do cone, com normal exterior.

Passo 2

Escolha do método. Vou usar o Teorema da Divergência (Gauss) porque ele relaciona o fluxo total através de uma superfície fechada ao integral do divergente sobre o volume interno. Aqui podemos fechar a superfície lateral do cone adicionando o disco plano no topo z=1. Assim:
  • Fluxo total pela superfície fechada (lateral + disco superior) = integral do divergente sobre o volume V do cone.
  • Então posso calcular a integral do divergente sobre V e a contribuição do disco superior separadamente, e obter a contribuição da lateral por subtração.
    Essa escolha é conveniente e torna as contas simples.

Passo 3

Aplicando o Teorema da Divergência. Primeiro calculo o divergente de \vec{F}:
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(y)+\frac{\partial}{\partial y}(-x)+\frac{\partial}{\partial z}(-z).
Calculando cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}(y)=0,\quad \frac{\partial}{\partial y}(-x)=0,\quad \frac{\partial}{\partial z}(-z)=-1.
Logo
\operatorname{div}\vec{F}=-1.
Pelo Teorema da Divergência:
\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV=\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS,
onde \partial V é a superfície fechada composta pela lateral S (com normal exterior) mais o disco superior D em z=1 (também com normal exterior).

Passo 4

Calculo do integral volumétrico \iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV. Como \operatorname{div}\vec{F}=-1,
\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV=-\iiint_{V}1\,dV = -\operatorname{Vol}(V).
Vou calcular \operatorname{Vol}(V) usando coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), com x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta. Para o cone x^{2}+y^{2}=z^{2} com 0\le z\le 1 temos 0\le r\le z, 0\le z\le 1, 0\le\theta\le 2\pi. O elemento de volume é dV=r\,dr\,dz\,d\theta. Assim:
\operatorname{Vol}(V)=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{z} r\,dr\,dz\,d\theta.
Faço a integral em r:
\int_{0}^{z} r\,dr = \frac{1}{2}z^{2}.
Logo
\operatorname{Vol}(V)=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \frac{1}{2}z^{2}\,dz\,d\theta =2\pi\cdot\frac{1}{2}\int_{0}^{1} z^{2}\,dz =\pi\cdot\left[\frac{z^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =\frac{\pi}{3}.
Portanto
\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV = -\operatorname{Vol}(V) = -\frac{\pi}{3}.

Passo 5

Calculo do fluxo através do disco superior D (o disco de raio 1 em z=1). Precisamos do fluxo com a orientação exterior do volume: para o disco superior a normal exterior aponta para cima, isto é \vec{n}=(0,0,1). Em z=1, o campo vale
\vec{F}(x,y,1)=(y,-x,-1).
O produto escalar com a normal do disco é
\vec{F}\cdot\vec{n} = (y,-x,-1)\cdot(0,0,1) = -1.
Então o fluxo pelo disco é
\iint_{D}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iint_{D} (-1)\,dS = -\operatorname{Area}(D).
O disco tem raio 1, então \operatorname{Area}(D)=\pi. Assim
\iint_{D}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = -\pi.
(Se preferir ver como integral polar: \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} (-1) r\,dr\,d\theta = -\pi.)

Passo 6

Agora uso a relação do Teorema da Divergência para a superfície fechada:
\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV=\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS+\iint_{D}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS,
onde o primeiro termo à direita é justamente o fluxo pela lateral S que queremos. Então
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV - \iint_{D}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS.
Substituindo os valores encontrados:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = -\frac{\pi}{3} - (-\pi) = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}.
Portanto o fluxo através da superfície lateral do cone, com normal exterior, é \dfrac{2\pi}{3}.

Resposta

\dfrac{2\pi}{3}

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