Encontre o fluxo do campo vetorial
através da superfície
na direção dada por um campo dos vetores normais
:
, a parte superior,
é para cima.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
através da superfície
na direção dada por um campo de vetores normais
, isto é, calcular
As informações dadas são:
e o vetor normal
é “para cima” (ou seja, na parte superior escolhemos a orientação com componente
positiva).
Observação importante: por “parte superior” entendemos a meia-esfera superior, ou seja o conjunto de pontos da superfície esférica com .
Observação importante: por “parte superior” entendemos a meia-esfera superior, ou seja o conjunto de pontos da superfície esférica com
Passo 2
Qual método vamos usar e por quê. Temos duas opções típicas: (a) parametrizar a superfície esférica e calcular diretamente
; (b) usar o teorema da divergência fechando a meia-esfera com o disco no plano
e transformar o problema em uma integral de volume. Vou escolher o método (b) porque aqui a divergência de
é simples e o volume da meia-esfera é fácil de calcular — isso torna a conta muito mais curta e menos propensa a erro numa prova rápida.
Explicação do teorema que usaremos (em palavras claras): se
é um volume com fronteira
e as normais em
são apontadas para fora do volume, então
onde
é a divergência de
.
Passo 3
Calculemos a divergência de
. A divergência é a soma das derivadas parciais das componentes:
Agora computamos cada termo:
Portanto
Isto é ótimo: a divergência é constante e igual a
.
Passo 4
Definimos o volume
como a meia-bola (o sólido limitado pela meia-esfera
e pelo disco
no plano
). Pelo teorema da divergência, o fluxo total pelo contorno fechado
(com normais apontando para fora de
) é
O lado direito é simplesmente o volume de
, ou seja o volume da meia-bola de raio
. O volume de uma esfera é
, então o volume da meia-esfera é
Passo 5
Precisamos agora calcular (ou avaliar) a contribuição do disco
para poder isolar o fluxo pela meia-esfera
. Note a orientação: para o volume
a normal na superfície plana
(o disco em
) deve apontar para fora do volume. O volume está acima do plano
, então a normal externa em
aponta para baixo, isto é
.
Passo 6
Avaliemos
sobre o disco
(onde
). Substituindo
em
temos
O produto escalar com a normal
é
Portanto a contribuição do disco é
onde
.
Passo 7
Calculemos
. Há duas maneiras simples de ver que esta integral é zero:
-
Por simetria: o disco é simétrico em relação ao eixo
. A função é ímpar nessa simetria, então sua integral sobre o disco (que é simétrico) é zero. -
Ou explicitamente em coordenadas polares: escrevendo
, , , temos
Mas
logo a integral completa é zero.
Assim concluímos
Passo 8
Voltando à igualdade do teorema da divergência:
Como a contribuição do disco é
, temos