Encontre o fluxo do campo vetorial vec{F} através da superfície S na direção dada por um campo dos vetores normais vec{n} :
\iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d S
\vec{F}=(x, z,-y), \quad S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, a parte superior, \vec{n} é para cima.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial \vec{F} através da superfície S na direção dada por um campo de vetores normais \vec{n}, isto é, calcular
\iint_{S} \vec{F}\cdot\vec{n}\,dS.
As informações dadas são:
\vec{F}=(x,z,-y),
S:\;x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},\quad \text{a parte superior},
e o vetor normal \vec{n} é “para cima” (ou seja, na parte superior escolhemos a orientação com componente z positiva).
Observação importante: por “parte superior” entendemos a meia-esfera superior, ou seja o conjunto de pontos da superfície esférica com z\ge 0.

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê. Temos duas opções típicas: (a) parametrizar a superfície esférica e calcular diretamente \iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS; (b) usar o teorema da divergência fechando a meia-esfera com o disco no plano z=0 e transformar o problema em uma integral de volume. Vou escolher o método (b) porque aqui a divergência de \vec{F} é simples e o volume da meia-esfera é fácil de calcular — isso torna a conta muito mais curta e menos propensa a erro numa prova rápida.
Explicação do teorema que usaremos (em palavras claras): se V é um volume com fronteira \partial V e as normais em \partial V são apontadas para fora do volume, então
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV,
onde \operatorname{div}\vec{F} é a divergência de \vec{F}.

Passo 3

Calculemos a divergência de \vec{F}. A divergência é a soma das derivadas parciais das componentes:
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(x)+\frac{\partial}{\partial y}(z)+\frac{\partial}{\partial z}(-y).
Agora computamos cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}(x)=1,\qquad \frac{\partial}{\partial y}(z)=0,\qquad \frac{\partial}{\partial z}(-y)=0.
Portanto
\operatorname{div}\vec{F}=1.
Isto é ótimo: a divergência é constante e igual a 1.

Passo 4

Definimos o volume V como a meia-bola (o sólido limitado pela meia-esfera S e pelo disco D no plano z=0). Pelo teorema da divergência, o fluxo total pelo contorno fechado \partial V=S\cup D (com normais apontando para fora de V) é
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS+\iint_{D}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\iiint_{V}1\,dV.
O lado direito é simplesmente o volume de V, ou seja o volume da meia-bola de raio R. O volume de uma esfera é \dfrac{4}{3}\pi R^{3}, então o volume da meia-esfera é
\operatorname{Vol}(V)=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{2}{3}\pi R^{3}.

Passo 5

Precisamos agora calcular (ou avaliar) a contribuição do disco D para poder isolar o fluxo pela meia-esfera S. Note a orientação: para o volume V a normal na superfície plana D (o disco em z=0) deve apontar para fora do volume. O volume está acima do plano z=0, então a normal externa em D aponta para baixo, isto é \vec{n}_{D}=-\vec{k}=(0,0,-1).

Passo 6

Avaliemos \vec{F} sobre o disco D (onde z=0). Substituindo z=0 em \vec{F}=(x,z,-y) temos
\vec{F}|_{D}=(x,0,-y).
O produto escalar com a normal \vec{n}_{D}=(0,0,-1) é
\vec{F}\cdot\vec{n}_{D}= (x,0,-y)\cdot(0,0,-1)=y.
Portanto a contribuição do disco é
\iint_{D}\vec{F}\cdot\vec{n}_{D}\,dS=\iint_{D} y\,dS,
onde D=\{(x,y,0)\mid x^{2}+y^{2}\le R^{2}\}.

Passo 7

Calculemos \iint_{D} y\,dS. Há duas maneiras simples de ver que esta integral é zero:
  • Por simetria: o disco é simétrico em relação ao eixo y\to -y. A função y é ímpar nessa simetria, então sua integral sobre o disco (que é simétrico) é zero.
  • Ou explicitamente em coordenadas polares: escrevendo x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, dS=r\,dr\,d\theta, temos
\iint_{D} y\,dS=\int_{r=0}^{R}\int_{\theta=0}^{2\pi} (r\sin\theta)\,r\,d\theta\,dr =\int_{0}^{R} r^{2}\,dr\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta.
Mas
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0,
logo a integral completa é zero.
Assim concluímos
\iint_{D}\vec{F}\cdot\vec{n}_{D}\,dS=0.

Passo 8

Voltando à igualdade do teorema da divergência:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS+\iint_{D}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\operatorname{Vol}(V)=\frac{2}{3}\pi R^{3}.
Como a contribuição do disco é 0, temos
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS=\frac{2}{3}\pi R^{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}\pi R^{3}

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