Encontre o fluxo do campo vetorial
através da superfície
na direção dada por um campo dos vetores normais
:
, a parte no primeiro octante,
é para sima.
Passo 1
O enunciado dá:\n
- O campo vetorial
.\n - A superfície
é a porção do plano que está no primeiro octante (ou seja, ).\n - A orientação pedida é “para cima” (normal com componente
positiva).\n
O que se pede:\n - Calcular o fluxo
, isto é, a integral de fluxo de através de com a orientação para cima.
Passo 2
Vamos transformar
numa superfície dada como gráfico de uma função
, porque aí há uma fórmula direta para o elemento de superfície orientado.\n
A equação do plano é , então isolamos
:\n
A equação do plano é
Para uma superfície dada por
, uma parametrização natural é
.\n
As derivadas parciais são e
, onde
e
.\n
O vetor normal orientado (não unitário) dado pela regra do produto vetorial é\n
As derivadas parciais são
O vetor normal orientado (não unitário) dado pela regra do produto vetorial é\n
Para a orientação “para cima” usamos exatamente esse vetor (pois sua componente
é
).\n
Logo o integrando do fluxo é\n
Logo o integrando do fluxo é\n
onde
são as componentes de
. A integral de superfície se transforma numa integral dupla sobre a projeção
da superfície no plano
:
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
:\n
As componentes de
são
.
Passo 4
Substituindo em
obtemos:\n
Somando tudo:
Agora expressamos
em função de
usando
. Assim o integrando em termos de
fica\n
Passo 5
Determinemos a região
, projeção de
no plano
.\n
A interseção com dá
, com
. Isso é um triângulo com vértices
.\n
Escolhemos limites de integração: vai de
a
, e para cada
,
vai de
a
.\n
Portanto a integral fica\n
A interseção com
Escolhemos limites de integração:
Portanto a integral fica\n
Passo 6
Calculemos a integral interna em
:\n
Antiderivadas termo a termo:\n
Avaliaremos em
. Para facilitar, calculemos
e
:\n
Substituindo nas antiderivadas:
Agora expandimos e simplificamos (mostro os termos combinados):\n
Somando coeficientes semelhantes obtemos a função de
:
Passo 7
Agora integramos essa expressão em
de
a
:\n
Calculando termo a termo:\n
Avaliaremos em
(em
tudo zera):\n
Compute passo a passo:\n
Juntando as partes racionais:\n
Então
.
Resposta
32