Encontre o fluxo do campo vetorial vec{F} através da superfície S na direção dada por um campo dos vetores normais vec{n} :
\iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d S
\vec{F}=\left(x^{2}, y+z, x^{2}-2 y\right), \quad S: x+2 y+z=4, a parte no primeiro octante, \quad \vec{n} é para sima.

Passo 1

O enunciado dá:\n
  • O campo vetorial \vec{F} = \left(x^{2},\, y+z,\, x^{2}-2y\right).\n
  • A superfície S é a porção do plano \;x+2y+z=4\; que está no primeiro octante (ou seja, x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0).\n
  • A orientação pedida é “para cima” (normal com componente z positiva).\n
    O que se pede:\n
  • Calcular o fluxo \displaystyle \iint_{S} \vec{F}\cdot\vec{n}\,dS, isto é, a integral de fluxo de \vec{F} através de S com a orientação para cima.

Passo 2

Vamos transformar S numa superfície dada como gráfico de uma função z=g(x,y), porque aí há uma fórmula direta para o elemento de superfície orientado.\n
A equação do plano é \;x+2y+z=4\;, então isolamos z:\n
z = g(x,y) = 4 - x - 2y.\n
Para uma superfície dada por z=g(x,y), uma parametrização natural é \vec{r}(x,y)=(x,y,g(x,y)).\n
As derivadas parciais são \vec{r}_x=(1,0,g_x) e \vec{r}_y=(0,1,g_y), onde g_x=\partial g/\partial x e g_y=\partial g/\partial y.\n
O vetor normal orientado (não unitário) dado pela regra do produto vetorial é\n
\vec{r}_x\times\vec{r}_y = (-g_x,\,-g_y,\,1).\n
Para a orientação “para cima” usamos exatamente esse vetor (pois sua componente z é +1>0).\n
Logo o integrando do fluxo é\n
\vec{F}\cdot(\vec{r}_x\times\vec{r}_y)= -F_1\,g_x - F_2\,g_y + F_3,\n
onde F_1,F_2,F_3 são as componentes de \vec{F}. A integral de superfície se transforma numa integral dupla sobre a projeção D da superfície no plano xy:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS \;=\; \iint_{D}\big(-F_1 g_x - F_2 g_y + F_3\big)\,dA.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de g:\n
g(x,y)=4-x-2y \quad\Rightarrow\quad g_x=-1,\quad g_y=-2.\n
As componentes de \vec{F} são F_1=x^2,\;F_2=y+z,\;F_3=x^2-2y.

Passo 4

Substituindo em -F_1 g_x - F_2 g_y + F_3 obtemos:\n
- F_1 g_x = -x^2\cdot(-1)=x^2,\n
- F_2 g_y = -(y+z)\cdot(-2)=2(y+z)=2y+2z,\n
F_3 = x^2-2y.\n
Somando tudo:
\vec{F}\cdot(\vec{r}_x\times\vec{r}_y) = x^2 + (2y+2z) + (x^2-2y) = 2x^2 + 2z.\n
Agora expressamos z em função de x,y usando z=4-x-2y. Assim o integrando em termos de x,y fica\n
2x^2 + 2z = 2x^2 + 2(4-x-2y) = 2x^2 +8 -2x -4y.

Passo 5

Determinemos a região D, projeção de S no plano xy.\n
A interseção com z=0 x+2y=4, com x\ge0,y\ge0. Isso é um triângulo com vértices (0,0),\,(4,0),\,(0,2).\n
Escolhemos limites de integração: y vai de 0 a 2, e para cada y, x vai de 0 a 4-2y.\n
Portanto a integral fica\n
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{4-2y} \big(2x^2 +8 -2x -4y\big)\,dx\,dy.

Passo 6

Calculemos a integral interna em x:\n
\int_{0}^{4-2y} \big(2x^2 -2x +8 -4y\big)\,dx.\n
Antiderivadas termo a termo:\n
\int 2x^2\,dx = \tfrac{2}{3}x^3,\quad \int -2x\,dx = -x^2,\quad \int (8-4y)\,dx = (8-4y)x.\n
Avaliaremos em x=4-2y. Para facilitar, calculemos (4-2y)^2 e (4-2y)^3:\n
(4-2y)^2 = 16 -16y +4y^2,\n
(4-2y)^3 = 64 -96y +48y^2 -8y^3.\n
Substituindo nas antiderivadas:
\frac{2}{3}(4-2y)^3 - (4-2y)^2 + (8-4y)(4-2y).\n
Agora expandimos e simplificamos (mostro os termos combinados):\n
\frac{128}{3} -64y +32y^2 -\frac{16}{3}y^3 \;-\;16 +16y -4y^2 \;+\;32 -32y +8y^2.\n
Somando coeficientes semelhantes obtemos a função de y:
\frac{176}{3} -80y +36y^2 -\frac{16}{3}y^3.

Passo 7

Agora integramos essa expressão em y de 0 a 2:\n
\int_{0}^{2}\left(\frac{176}{3} -80y +36y^2 -\frac{16}{3}y^3\right)dy.\n
Calculando termo a termo:\n
\int \frac{176}{3}\,dy = \frac{176}{3}y,\quad \int -80y\,dy = -40y^2,\quad \int 36y^2\,dy = 12y^3,\quad \int -\frac{16}{3}y^3\,dy = -\frac{4}{3}y^4.\n
Avaliaremos em y=2 (em y=0 tudo zera):\n
\frac{176}{3}\cdot 2 -40\cdot 2^2 +12\cdot 2^3 -\frac{4}{3}\cdot 2^4.\n
Compute passo a passo:\n
\frac{352}{3} -160 +96 -\frac{64}{3}.\n
Juntando as partes racionais:\n
\frac{352}{3} -\frac{64}{3} = \frac{288}{3} = 96.\n
Então 96 -160 +96 = 32.

Resposta

32

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