Suponha que para uma intogral de linha independente de um caminho
foi determinada a função potencial
.
a. Qual era essa integral de linha?
b. Se o caminho
era a parábola
, indo da origem ao ponto
, qual o valor da integral de linha?
a. Qual era essa integral de linha?
b. Se o caminho
Passo 1
O enunciado dá a função potencial
e pede duas coisas:
- (a) “Qual era essa integral de linha?” — ou seja, escrever a integral de linha que tem
como função potencial (a forma diferencial / o campo de forças correspondente). - (b) Calcular o valor da integral de linha quando o caminho
é a parábola indo do ponto até .
Informações relevantes fornecidas:
- A função potencial é
. - O caminho
(para o item b) é a curva com início em e fim em . - Foi afirmado que a integral de linha é independente do caminho (logo existe um potencial
e o campo é conservativo).
Passo 2
Vamos transformar a função potencial
em um campo vetorial cuja integral de linha é a dada no enunciado. Se
é potencial, o campo vetorial
associado é o gradiente de
:
Agora calculamos as derivadas parciais uma a uma, com calma.
Cálculo de
:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é (pois é tratado como constante ao derivar em ). - Derivada de
em relação a : é constante em , e tem derivada . Logo essa parte contribui com .
Portanto
Cálculo de
:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a : é tratado como constante, e derivada de é . Assim obtemos .
Portanto
Assim o campo é
A integral de linha associada a esse campo, escrita na forma diferencial, é
Essa é a integral de linha cuja função potencial dada é
. (Resposta do item (a).)
Passo 3
Agora uma aula curta e prática sobre por que usar
acelera muito o cálculo: o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos conservativos.
Se
, e
é qualquer curva suave que vai do ponto
ao ponto
, então
Explicando por que (demonstrando de forma direta, passo a passo):
- Parametrizamos a curva por
, com variando de a , de modo que e . - Então
e a integral de linha fica
- Mas pelo Regra da Cadeia, a derivada temporal de
é exatamente
- Portanto a integral acima é
Conclusão prática: para calcular a integral de linha de um campo conservativo basta avaliar a função potencial nos extremos e subtrair: integral =
. Isso evita parametrizações longas na prova.
Passo 4
Aplicando o resultado do Passo 3 ao item (b): o caminho vai de
a
, então
Calculamos
com calma:
Calculamos
:
Portanto
Passo 5
Verificação alternativa (mais técnica, para ganhar confiança): parametrizando a parábola por
com
temos
. Então o integrando da forma diferencial do Passo 2 é exatamente
e integrar de
a
produz
. Isso bate com o cálculo direto feito no Passo 4 e confirma que o resultado é correto. (Não precisamos calcular a integral longa explicitamente porque já usamos o teorema que simplifica o processo.)