Suponha que para uma intogral de linha independente de um caminho C foi determinada a função potencial f(x, y)=3 x+y^{3}+(1+2 y) \mathrm{e}^{x-1}.
a. Qual era essa integral de linha?
b. Se o caminho C era a parábola y=x^{2}, indo da origem ao ponto (1,1), qual o valor da integral de linha?

Passo 1

O enunciado dá a função potencial \displaystyle f(x,y)=3x+y^{3}+(1+2y)\mathrm{e}^{\,x-1} e pede duas coisas:
  1. (a) “Qual era essa integral de linha?” — ou seja, escrever a integral de linha que tem f como função potencial (a forma diferencial / o campo de forças correspondente).
  2. (b) Calcular o valor da integral de linha quando o caminho C é a parábola \displaystyle y=x^{2} indo do ponto (0,0) até (1,1).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função potencial é \displaystyle f(x,y)=3x+y^{3}+(1+2y)\mathrm{e}^{\,x-1}.
  • O caminho C (para o item b) é a curva \displaystyle y=x^{2} com início em (0,0) e fim em (1,1).
  • Foi afirmado que a integral de linha é independente do caminho (logo existe um potencial f e o campo é conservativo).

Passo 2

Vamos transformar a função potencial f em um campo vetorial cuja integral de linha é a dada no enunciado. Se f é potencial, o campo vetorial \mathbf{F} associado é o gradiente de f:
\mathbf{F}(x,y)=\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Agora calculamos as derivadas parciais uma a uma, com calma.
Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}:
  • Derivada de \displaystyle 3x em relação a x é \displaystyle 3.
  • Derivada de \displaystyle y^{3} em relação a x é \displaystyle 0 (pois y é tratado como constante ao derivar em x).
  • Derivada de \displaystyle (1+2y)\mathrm{e}^{\,x-1} em relação a x: (1+2y) é constante em x, e \mathrm{e}^{\,x-1} tem derivada \mathrm{e}^{\,x-1}. Logo essa parte contribui com (1+2y)\mathrm{e}^{\,x-1}.
    Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=3+(1+2y)\mathrm{e}^{\,x-1}.
Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}:
  • Derivada de \displaystyle 3x em relação a y é 0.
  • Derivada de \displaystyle y^{3} em relação a y é \displaystyle 3y^{2}.
  • Derivada de \displaystyle (1+2y)\mathrm{e}^{\,x-1} em relação a y: \mathrm{e}^{\,x-1} é tratado como constante, e derivada de (1+2y) é 2. Assim obtemos 2\mathrm{e}^{\,x-1}.
    Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}+2\mathrm{e}^{\,x-1}.
Assim o campo é
\mathbf{F}(x,y)=\left(3+(1+2y)\mathrm{e}^{\,x-1},\;3y^{2}+2\mathrm{e}^{\,x-1}\right).
A integral de linha associada a esse campo, escrita na forma diferencial, é
\int_{C}\left[\,\bigl(3+(1+2y)\mathrm{e}^{\,x-1}\bigr)\,dx+\bigl(3y^{2}+2\mathrm{e}^{\,x-1}\bigr)\,dy\,\right].
Essa é a integral de linha cuja função potencial dada é f. (Resposta do item (a).)

Passo 3

Agora uma aula curta e prática sobre por que usar f acelera muito o cálculo: o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para campos conservativos.
Se \mathbf{F}=\nabla f, e C é qualquer curva suave que vai do ponto A ao ponto B, então
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=f(B)-f(A).
Explicando por que (demonstrando de forma direta, passo a passo):
  • Parametrizamos a curva por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)), com t variando de a a b, de modo que \mathbf{r}(a)=A e \mathbf{r}(b)=B.
  • Então d\mathbf{r}=(x'(t),y'(t))\,dt e a integral de linha fica
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}x'(t)+\frac{\partial f}{\partial y}y'(t)\Bigr)\,dt.
  • Mas pelo Regra da Cadeia, a derivada temporal de f(x(t),y(t)) é exatamente
\frac{d}{dt}f(x(t),y(t))=\frac{\partial f}{\partial x}x'(t)+\frac{\partial f}{\partial y}y'(t).
  • Portanto a integral acima é
\int_{a}^{b}\frac{d}{dt}f(x(t),y(t))\,dt=f(x(b),y(b))-f(x(a),y(a))=f(B)-f(A).
Conclusão prática: para calcular a integral de linha de um campo conservativo basta avaliar a função potencial nos extremos e subtrair: integral = f(\text{fim})-f(\text{início})í. Isso evita parametrizações longas na prova.

Passo 4

Aplicando o resultado do Passo 3 ao item (b): o caminho vai de A=(0,0) a B=(1,1), então
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=f(1,1)-f(0,0).
Calculamos f(1,1) com calma:
f(1,1)=3\cdot 1 + 1^{3} + (1+2\cdot 1)\mathrm{e}^{\,1-1}=3+1+(1+2)\mathrm{e}^{0}=4+3\cdot 1=7.
Calculamos f(0,0):
f(0,0)=3\cdot 0 + 0^{3} + (1+2\cdot 0)\mathrm{e}^{\,0-1}=0+0+1\cdot \mathrm{e}^{-1}=\mathrm{e}^{-1}=\frac{1}{\mathrm{e}}.
Portanto
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=7-\frac{1}{\mathrm{e}}.

Passo 5

Verificação alternativa (mais técnica, para ganhar confiança): parametrizando a parábola por x=t,\;y=t^{2} com t\in[0,1] temos dx=dt,\;dy=2t\,dt. Então o integrando da forma diferencial do Passo 2 é exatamente
\frac{d}{dt}f\bigl(x(t),y(t)\bigr),
e integrar de 0 a 1 produz f(1,1)-f(0,0). Isso bate com o cálculo direto feito no Passo 4 e confirma que o resultado é correto. (Não precisamos calcular a integral longa explicitamente porque já usamos o teorema que simplifica o processo.)

Resposta

\displaystyle \int_{C}\bigl(3+(1+2y)\mathrm{e}^{\,x-1}\bigr)\,dx+\bigl(3y^{2}+2\mathrm{e}^{\,x-1}\bigr)\,dy\n
\displaystyle 7-\frac{1}{\mathrm{e}}

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