- Se a reta
for uma curva de nível de
pelo ponto
, então
.
Passo 1
A questão diz que a reta y=2 é uma curva de nível de f no ponto (4,2). O conteúdo envolvido é de curvas de nível e gradiente de funções de duas variáveis, e vamos usar que, numa curva de nível, a derivada de f ao longo da curva é zero.
Passo 2
Se y=2 é curva de nível, existe uma constante c tal que para todo x próximo de 4 vale f(x,2)=c. Isso significa que, variando x mantendo y=2, f não muda.
Como f(x,2)=c para todo x, podemos diferenciar em relação a x usando a regra da cadeia:
Como f(x,2)=c para todo x, podemos diferenciar em relação a x usando a regra da cadeia:
Passo 3
Da expressão acima, vemos que
. Em particular, avaliando em x=4, temos
.
Portanto, a afirmação de que se y=2 é curva de nível em (4,2) então é verdadeira.
Portanto, a afirmação de que se y=2 é curva de nível em (4,2) então
Resposta
Verdadeiro.