Esboce os gráficos abaixo
2 x=raizy^2-4.

Passo 1

Estamos com a equação 2x = raizy^2-4. É um esboço de curva definida implicitamente, que vai se revelar uma hipérbole. Para resolver, vamos expressar x em função de y, achar domínio, forma canônica e assíntotas.

Passo 2

O radicando exige y^2-4>=0, ou seja, |y|>=2. Portanto só faz sentido para y<=-2 ou y>=2.
Como raizy^2-4>=0, temos x=tfrac12raizy^2-4>=0. Logo o gráfico fica restrito a x>=0, com duas curvas: uma para y>=2 e outra para y<=-2.

Passo 3

Quadrando os dois lados,
4x^2=y^2-4
reorganizando vem
y^2-4x^2=4que é a forma canônica de uma hipérbole central na origem, de semi-eixo vertical 2 e horizontal 1. Mas mantemos a restrição x>=0.

Passo 4

Interceptos ocorrem quando y=pm2, dando x=0. As assíntotas vêm de
y^2-4x^2=0Rightarrow y=pm2xEntão o esboço tem dois ramos da hipérbole y^2-4x^2=4, um acima e outro abaixo do eixo x, começando em (0,2) e (0,-2), e aproximando-se das retas y=2x e y=-2x do lado x>=0.

Resposta

O gráfico é os dois ramos da hipérbole y^2-4x^2=4 restritos a x>=0, com interceptos em (0,2) e (0,-2) e assíntotas y=pm2x.

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