Encontre A^n se n for um inteiro positivo e
A=[rrr 3 & -1 & 0 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 3 ]

Passo 1

O problema pede para encontrar A^n, onde A é a matriz simétrica
A = 3 & -1 & 0 -1 & 2 & -1 0 & -1 & 3
e n é inteiro positivo.
Para isso vamos usar diagonalização espectral: como A é simétrica, ela admite uma base ortonormal de autovetores. Basta achar os autovalores lambdai e autovetores vi, escrever
A = sumi=1^3 lambdai ,vi vi^Tvi^T vi
e então
A^n = sumi=1^3 lambdai^n ,vi vi^Tvi^T vi,

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico det(A - lambda I)=0.
det! 3-lambda & -1 & 0 -1 & 2-lambda & -1 0 & -1 & 3-lambda = lambda^3 -8lambda^2 +19lambda -12 = 0
Testando raízes inteiras, lambda=1 anula o polinômio. Fazendo a divisão, obtemos
(lambda-1)(lambda^2 -7lambda +12)=0 Longrightarrow lambdain1,,3,,4

Passo 3

Para cada autovalor resolvemos (A-lambda I)v=0:
- lambda=1:
(A-I)v=0 ;Rightarrow; v1=(1,2,1)^T
- lambda=3:
(A-3I)v=0 ;Rightarrow; v2=(1,0,-1)^T
- lambda=4:
(A-4I)v=0 ;Rightarrow; v3=(1,-1,1)^T
Os quadrados das normas são |v1|^2=6,,|v2|^2=2,,|v3|^2=3.

Passo 4

Escrevemos a decomposição espectral
A^n =1^n,v1v1^T6 +3^n,v2v2^T2 +4^n,v3v3^T3 =v1v1^T6 +;3^n,v2v2^T2 +;4^n,v3v3^T3
Calculando cada termo, obtemos em coordenadas:
A^n= an & bn & cn[6pt] bn & dn & bn[6pt] cn & bn & an
com
an=1+3cdot3^n+2cdot4^n6, bn=1-4^n3, cn=1-3cdot3^n+2cdot4^n6, dn=2+4^n3 ]

Resposta

A^n = dfrac1+3cdot3^n+2cdot4^n6 & dfrac1-4^n3 & dfrac1-3cdot3^n+2cdot4^n6[8pt] dfrac1-4^n3 & dfrac2+4^n3 & dfrac1-4^n3[8pt] dfrac1-3cdot3^n+2cdot4^n6 & dfrac1-4^n3 & dfrac1+3cdot3^n+2cdot4^n6 ]

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