Seja M o conjunto das matrizes da forma [cca & b -b & a], onde a, b são números reais.
Motre que M é fechado com respeito à adição e à multiplicação matricial, isto é, a soma ou multiplicação de duas matrizes de M é uma matriz de M.

Passo 1

O enunciado define o conjunto M como todas as matrizes
a & b -,b & a
com a,binR, e pede para mostrar que M é fechado sob adição e multiplicação de matrizes. Para isso, basta tomar duas matrizes genéricas em M e verificar que sua soma e seu produto também estão em M.

Passo 2

Sejam
M1 = a1 & b1 -b1 & a1, M2 = a2 & b2 -b2 & a2
A soma é
M1 + M2 = a1 + a2 & b1 + b2 -(b1 + b2) & a1 + a2
Se definirmos a' = a1 + a2 e b' = b1 + b2, vemos que
M1 + M2 = a' & b' -b' & a'inM,
Logo M é fechado sob adição.

Passo 3

Calculamos o produto
M1M2 =a1 & b1 -b1 & a1 a2 & b2 -b2 & a2 = a1a2 - b1b2 & a1b2 + b1a2 -l(a1b2 + b1a2r) & a1a2 - b1b2
Chamando
a' = a1a2 - b1b2, b' = a1b2 + b1a2,
vemos que
M1M2 = a' & b' -b' & a'inM,
Logo M é fechado sob multiplicação.

Resposta

Portanto, M é fechado tanto em relação à adição quanto em relação à multiplicação matricial.

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