Se A, B in Mn(F), vale A B=B A? Mostre ou dê contra-exemplo.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dados A,Bin Mn(F), sempre vale
AB = BA
O conteúdo aqui é a multiplicação de matrizes e a propriedade de comutatividade.

Passo 2

Para refutar a afirmação basta um contraexemplo em M2(F). Vamos escolher matrizes simples que não comutam:
A = 0 & 1 0 & 0, B = 0 & 0 1 & 0

Passo 3

Calculemos o produto AB. Usando a regra de multiplicação de matrizes, obtemos
AB = 0 & 1 0 & 0 0 & 0 1 & 0 = 0cdot0 + 1cdot1 & 0cdot0 + 1cdot0 0cdot0 + 0cdot1 & 0cdot0 + 0cdot0 = 1 & 0 0 & 0

Passo 4

Agora calculemos BA:
BA = 0 & 0 1 & 0 0 & 1 0 & 0 = 0cdot0 + 0cdot0 & 0cdot1 + 0cdot0 1cdot0 + 0cdot0 & 1cdot1 + 0cdot0 = 0 & 0 0 & 1
Como
1 & 0 0 & 0 neq 0 & 0 0 & 1,
segue que AB neq BA.

Resposta

Não, em geral ABneq BA. O exemplo acima mostra que a multiplicação de matrizes não é comutativa.

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