Um projétil é lançado de uma plataforma de h=50m de altura, com uma velocidade inicial de
a um ângulo de
em relação à horizontal. Sabendo que a aceleração da gravidade é
, determine:
O tempo necessário para o projétil atingir o solo.
O tempo necessário para o projétil atingir o solo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de lançamento de projétil! Aqui, estamos trabalhando com cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. Precisamos descobrir quanto tempo o projétil leva para atingir o chão depois de ser lançado de uma plataforma alta. Para isso, vamos usar as equações do movimento vertical, considerando a altura inicial, a velocidade inicial e a aceleração da gravidade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Altura da plataforma, $ h = 50 , m $
- Velocidade inicial, $ v_0 = 80 , m/s $
- Ângulo de lançamento, $ \theta = 45^\circ $
- Aceleração da gravidade, $ g = 9,8 , m/s^2 $
Como queremos saber o tempo total para o projétil atingir o solo, precisamos analisar o movimento na direção vertical.
Passo 3
Vamos decompor a velocidade inicial nas direções horizontal e vertical. A velocidade vertical inicial ($ v_{0y} $) é dada por:
Com $ \theta = 45^\circ $:
Passo 4
Agora, vamos usar a equação do movimento vertical para encontrar o tempo total de voo. A posição final ($ y
y_0 $) é a altura da plataforma:
Substituindo $ y = 0 $ e $ y_0 = 50 , m $:
Passo 5
Agora, temos uma equação quadrática na forma $ at^2 + bt + c = 0 $:
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para simplificar:
Passo 6
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 4,9 $, $ b = -56,57 $ e $ c = -50 $.
Passo 7
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Passo 8
Agora, calculamos as raízes da equação:
Temos duas soluções:
Passo 9
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos $ t_2 $. Portanto, o tempo necessário para o projétil atingir o solo é aproximadamente 12,37 segundos.
Resposta
O projétil leva aproximadamente 12,37 segundos para atingir o solo.