Um projétil é lançado de uma plataforma de h=50m de altura, com uma velocidade inicial de v0=80 m / s a um ângulo de theta=45^circ em relação à horizontal. Sabendo que a aceleração da gravidade é g=9,8 m / s^2, determine:
O tempo necessário para o projétil atingir o solo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de lançamento de projétil! Aqui, estamos trabalhando com cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. Precisamos descobrir quanto tempo o projétil leva para atingir o chão depois de ser lançado de uma plataforma alta. Para isso, vamos usar as equações do movimento vertical, considerando a altura inicial, a velocidade inicial e a aceleração da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Altura da plataforma, $ h = 50 , m $
  • Velocidade inicial, $ v_0 = 80 , m/s $
  • Ângulo de lançamento, $ \theta = 45^\circ $
  • Aceleração da gravidade, $ g = 9,8 , m/s^2 $
Como queremos saber o tempo total para o projétil atingir o solo, precisamos analisar o movimento na direção vertical.

Passo 3

Vamos decompor a velocidade inicial nas direções horizontal e vertical. A velocidade vertical inicial ($ v_{0y} $) é dada por:
v0y
Com $ \theta = 45^\circ $:
v0y = v0 cdot sin(theta)

Passo 4

Agora, vamos usar a equação do movimento vertical para encontrar o tempo total de voo. A posição final ($ y y áéçã y_0 $) é a altura da plataforma:
y0
Substituindo $ y = 0 $ e $ y_0 = 50 , m $:
y = y0 + v0y cdot t - 12 g t^2

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática na forma $ at^2 + bt + c = 0 $:
at^2 + bt + c = 0
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para simplificar:
-4,9 t^2 + 56,57 t + 50 = 0

Passo 6

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, $ a = 4,9 $, $ b = -56,57 $ e $ c = -50 $.

Passo 7

Calculando o discriminante ($ \Delta $):
De

Passo 8

Agora, calculamos as raízes da equação:
t = -(-56,57) pm raiz4184,142 cdot 4,9 = 56,57 pm 64,669,8
Temos duas soluções:
t1 = 56,57 + 64,669,8 approx 121,239,8 approx 12,37 , s
t2 = 56,57 - 64,669,8 approx -8,099,8 approx -0,83 , s

Passo 9

Como o tempo não pode ser negativo, descartamos $ t_2 $. Portanto, o tempo necessário para o projétil atingir o solo é aproximadamente 12,37 segundos.

Resposta

O projétil leva aproximadamente 12,37 segundos para atingir o solo.

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