Um submarino (sub A) viaja pela água a uma velocidade de 8,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, emitindo uma onda de sonar a uma frequência de 1400 Hz . A velocidade do som na água é de 1533 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Um segundo submarino (sub B) está localizado de tal forma que ambos os submarinos estão viajando diretamente um em direção ao outro. O segundo submarino está se movendo a 9,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(A) Qual frequência é detectada por um observador no submarino B à medida que os submarinos se aproximam um do outro?
(B) Os submarinos passam de raspão um pelo outro e seguem caminho. Qual frequência é detectada por um observador andando no sub B à medida que os submarinos se afastam um do outro?
(C) Enquanto os subs estão se aproximando um do outro, parte do som do sub A reflete do sub B e retorna ao subA. Se esse som fosse detectado por um observador no sub A , qual é a sua frequência?

Passo 1

O enunciado dá a seguinte situação e pede três coisas.
Informações dadas:
v_A = 8,00\\ \mathrm{m/s}
v_B = 9,00\\ \mathrm{m/s}
f_0 = 1400\\ \mathrm{Hz}
v = 1533\\ \mathrm{m/s}
Todos os movimentos estão ao longo da mesma linha, e os dois submarinos estão inicialmente se aproximando um do outro.
Perguntas do enunciado:
(A) Qual frequência é detectada por um observador no submarino B enquanto os submarinos se aproximam?
(B) Após passarem de raspão e seguirem em sentidos opostos, qual frequência é detectada por um observador no submarino B enquanto se afastam?
(C) Enquanto se aproximam, parte do som do A reflete em B e volta ao A. Se esse som é detectado por um observador no A, qual é a frequência recebida por A?

Passo 2

O conceito-chave aqui é o efeito Doppler para ondas sonoras em um meio (água). Vou explicar a fórmula que vamos usar e o porquê, de um jeito direto.
  • Frequência emitida pela fonte em repouso no meio: f_0.
  • Velocidade do som no meio: v.
  • Velocidade do observador (positiva se aproxima da fonte): v_{\text{obs}}.
  • Velocidade da fonte (positiva se se move em direção ao observador): v_{\text{src}}.
Intuição física simples:
  • Se o observador se move em direção à fonte, ele intercepta mais frentes de onda por segundo, então a frequência aparente aumenta. A velocidade relativa das frentes em relação ao observador passa a ser v + v_{\text{obs}}.
  • Se a fonte se move em direção ao observador, as frentes de onda ficam mais comprimidas (menor comprimento de onda), o que também aumenta a frequência aparente. O efeito da fonte aparece no denominador como v - v_{\text{src}}.
A fórmula geral (quando ambos se movem ao longo da linha que liga fonte e observador) é:
f' = f_0 \cdot \frac{v + v_{\text{obs}}}{v - v_{\text{src}}}
  • Aqui v_{\text{obs}} é positivo se o observador se aproxima da fonte e negativo se se afasta.
  • v_{\text{src}} é positivo se a fonte se aproxima do observador e negativo se se afasta.
    Essa expressão combina os dois efeitos (observador móvel e fonte móvel). Usaremos sinais adequados para cada caso (aproximação ou afastamento).

Passo 3

Resolvendo a letra (A): submarinos se aproximam um do outro. Então:
  • Para o receptor B, v_{\text{obs}} = v_B = 9,00\\ \mathrm{m/s} (aproxima-se do emissor).
  • Para a fonte A, v_{\text{src}} = v_A = 8,00\\ \mathrm{m/s} (aproxima-se do observador).
Aplicando a fórmula:
f_B = f_0 \cdot \frac{v + v_B}{v - v_A}.
Substituindo os números (todos em TeX):
f_B = 1400 \cdot \frac{1533 + 9}{1533 - 8}.
Calcule passo a passo:
1533 + 9 = 1542,
1533 - 8 = 1525,
\frac{1542}{1525} = 1 + \frac{17}{1525} = 1{,}01114754098\ldots
f_B = 1400 \times 1{,}01114754098\ldots = 1415{,}61\\ \mathrm{Hz}\\ (\text{aprox.}).
Explicação rápida: faz sentido físico — a frequência aumenta ligeiramente porque ambos se movem um em direção ao outro, mas as velocidades são pequenas comparadas à velocidade do som.

Passo 4

Resolvendo a letra (B): após passarem, agora eles se afastam um do outro. Agora:
  • Para o receptor B, que se afasta da fonte A, usamos v_{\text{obs}} = -v_B (ou podemos adaptar a fórmula direta para afastamento).
  • Para a fonte A, que agora se afasta de B, usamos v_{\text{src}} = -v_A.
Uma forma prática é usar a fórmula equivalente para afastamento:
f_B^{(\text{afast})} = f_0 \cdot \frac{v - v_B}{v + v_A}.
Substituindo:
f_B^{(\text{afast})} = 1400 \cdot \frac{1533 - 9}{1533 + 8}.
Calcule passo a passo:
1533 - 9 = 1524,
1533 + 8 = 1541,
\frac{1524}{1541} = 0{,}988967\ldots
f_B^{(\text{afast})} = 1400 \times 0{,}988967\ldots = 1384{,}55\\ \mathrm{Hz}\\ (\text{aprox.}).
Intuição: como esperado, a frequência diminui quando se afastam.

Passo 5

Resolvendo a letra (C): reflexão do som em B e recepção de volta em A.
Raciocínio físico passo a passo:
  1. O som emitido por A é recebido por B com a frequência que já calculamos em (A):
f_{B,\text{ouvido}} = f_0 \cdot \frac{v + v_B}{v - v_A}.
Esse é o ritmo das oscilações que o casco de B “vê” e, portanto, o ritmo com que B reemite (reflete) o som — ou seja, na referência de B a frequência é f_{B,\text{ouvido}}.
  1. O submarino B age como uma fonte móvel que reemite ondas com frequência igual a f_{B,\text{ouvido}}. Agora A é o observador movendo-se em direção a essa fonte. Aplicamos novamente a fórmula do Doppler, mas agora com:
  • frequência emitida pela “fonte” móvel = f_{B,\text{ouvido}},
  • velocidade da fonte = v_B (movendo-se em direção a A),
  • velocidade do observador = v_A (movendo-se em direção à fonte).
A frequência recebida por A (após reflexão) é, portanto:
f_{\text{retorno}} = f_{B,\text{ouvido}} \cdot \frac{v + v_A}{v - v_B}.
Substituindo f_{B,\text{ouvido}}:
f_{\text{retorno}} = f_0 \cdot \frac{v + v_B}{v - v_A} \cdot \frac{v + v_A}{v - v_B}.
É a aplicação sucessiva do efeito Doppler (ida até B e volta de B).
Agora substituímos os valores numéricos:
f_{\text{retorno}} = 1400 \cdot \frac{1533 + 9}{1533 - 8} \cdot \frac{1533 + 8}{1533 - 9}.
Calcule produtos e razões passo a passo:
1533 + 9 = 1542,\quad 1533 - 8 = 1525,
1533 + 8 = 1541,\quad 1533 - 9 = 1524.
f_{\text{retorno}} = 1400 \cdot \frac{1542}{1525} \cdot \frac{1541}{1524}.
Podemos multiplicar as frações:
\frac{1542}{1525}\cdot\frac{1541}{1524} \approx 1{,}022417\ldots
f_{\text{retorno}} \approx 1400 \times 1{,}022417\ldots = 1431{,}38\\ \mathrm{Hz}\\ (\text{aprox.}).
Interpretação física: o retorno sofre duas compressões (ida e volta) porque em ambas as etapas os movimentos relativos comprimem as frentes de onda — por isso a frequência retornada a A é maior que f_0 e maior que a que B ouviu.

Passo 6

Pequeno resumo mental para a prova:
  • Use sempre a fórmula geral do Doppler para cada trecho (inclua efeito do observador e da fonte).
  • Para reflexão, trate o refletor como observador na ida e como fonte na volta — aplique o Doppler duas vezes.
  • Mantenha atenção aos sinais: aproximação aumenta a frequência (soma no numerador ou subtração no denominador), afastamento diminui.
Você conseguiu — respire fundo, revise esses passos e pratique mais um ou dois exemplos parecidos para fixar!

Resposta

(A) 1415{,}61\\ \mathrm{Hz}
(B) 1384{,}55\\ \mathrm{Hz}
(C) 1431{,}38\\ \mathrm{Hz}

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