Encontre a forma disjuntiva mínima para as seguintes expressões booleanas usando mapas de Karnaugh e indique o número de formas disjuntivas mínimas diferentes que você consegue encontrar para cada uma delas: (h) \rho=a c+a b c^{\prime}+a^{\prime} b c+a^{\prime} b^{\prime} c.

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão booleana
\rho = a c + a b c' + a' b c + a' b' c
e pede: (i) encontrar a forma disjuntiva mínima usando mapas de Karnaugh; (ii) indicar o número de formas disjuntivas mínimas diferentes que se conseguem encontrar.
Informações relevantes que extraí da expressão (peguei estes minterms diretamente dos termos dados):
  • a c cobre os minterms \;m_5 e \;m_7.
  • a b c' cobre o minterm \;m_6.
  • a' b c cobre o minterm \;m_3.
  • a' b' c cobre o minterm \;m_1.
Portanto a função é a soma canônica dos minterms
\rho = \Sigma m(1,3,5,6,7).

Passo 2

Vou montar mentalmente o mapa de Karnaugh para três variáveis (a,b,c). Organização usual (linhas: a; colunas: bc em ordem Gray 00,01,11,10). A posição dos minterms no mapa é:
  • Linha a=0: colunas bc=00,01,11,10 correspondem a m_0,m_1,m_3,m_2.
  • Linha a=1: colunas bc=00,01,11,10 correspondem a m_4,m_5,m_7,m_6.
Coloco 1’s nos minterms que temos (peguei esses números dos termos originais): m_1,m_3,m_5,m_6,m_7.

Passo 3

Regras rápidas de Karnaugh (lembrando com linguagem simples):
  • Pode agrupar blocos de 1's com tamanhos potencia de 2: 1,2,4,\dots.
  • Cada bloco gera um implicante: variáveis que mudam dentro do bloco são eliminadas; as que permanecem constantes aparecem no produto.
  • Queremos cobrir todos os 1's com o menor número de implicantes (preferência por blocos maiores).
Observando o mapa com os 1's em m_1,m_3,m_5,m_7,m_6:
  • Os minterms m_1,m_3,m_5,m_7 são exatamente todos os casos com c=1 (colunas onde c=1). Esses quatro formam um bloco de tamanho 4 (2x2). Um bloco de 4 elimina duas variáveis, ficando apenas a variável que é constante: aqui a constante é c=1. Logo esse bloco gera o implicante de uma variável c.(Interpretação didática: qualquer combinação de a e b com c=1 é 1 na função.)
  • O minterm restante é m_6 (posição a=1,b=1,c=0). Ele pode ser agrupado com m_7 (que está em a=1,b=1,c=1) formando um bloco de tamanho 2 ao longo da variação de c. Esse bloco fixa a=1 e b=1, eliminando c. O implicante gerado é a b.
Com essas duas escolhas (o bloco de 4 que dá c e o par que dá a b) todos os 1's são cobertos. Esses implicantes são grandes (máximo possível) e, portanto, candidatos fortes a formar a forma disjuntiva mínima.

Passo 4

Faço também a verificação algébrica, passo a passo, para entender e justificar a simplificação (é bom para a prova):
Começo com
\rho = a c + a b c' + a' b c + a' b' c.
Agrupo os termos que contêm c:
\rho = a c + a' b c + a' b' c + a b c'.
Fatorando c dos três primeiros termos:
\rho = c\,(a + a' b + a' b') + a b c'.
Dentro do parêntese, uso a' b + a' b' = a'(b + b') = a', então
a + a' b + a' b' = a + a' = 1.
Assim o produto fica
\rho = c\cdot 1 + a b c' = c + a b c'.
Agora aplico a propriedade de absorção/consenso: x + y z = (x + y)(x + z). Tomando x=c e y=a b, z=c', temos
c + a b c' = (c + a b)(c + c') = (c + a b)\cdot 1 = c + a b.
Portanto a expressão se reduz para
c + a b.

Passo 5

Justificativa de minimalidade e unicidade (por que não existe outra forma disjuntiva mínima diferente):
  • A expressão c + a b tem apenas 2 termos e soma total de 3 literais ( 1 na primeira soma, 2 na segunda). É difícil ter uma soma com menos termos porque a função tem cinco minterms; só possível cobrir todos usando ao menos um implicante de tamanho 4 (que cobre 4 minterms) e outro que cubra o minterm isolado restante — ou então mais termos menores, o que resulta em mais termos no total.
  • No mapa, o bloco de 4 correspondente à variável c é o único bloco de 4 possível que cobre os quatro minterms com c=1. Para cobrir m_6 (o único com c=0), o único implicante que o cobre sem introduzir minterms externos inválidos é a b (o par m_6,m_7). Logo, qualquer solução com 2 termos precisa necessariamente ser exatamente c e a b.
  • Outras coberturas possíveis com mais termos (por exemplo b'c + bc + ab) não são mínimas em número de termos; elas podem se rearranjar algébrica e automaticamente reduzir para c + a b.
Por isso a forma \;c + a b\; é minimal em termos de número de termos e literais e é única (até comutação dos somandos, que não conta como forma diferente).

Resposta

c + a b
Número de formas disjuntivas mínimas diferentes: 1

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