Mostre que o intervalo fechado [0,1] é um conjunto fechado. Mostre com cálculos

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o intervalo fechado [0,1] é um conjunto fechado. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de topologia e análise matemática. Vamos precisar entender o que significa um conjunto ser fechado e usar algumas propriedades básicas para provar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto fechado. Em termos simples, um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos limite. Ou seja, se uma sequência de números dentro desse conjunto converge para um ponto, esse ponto também deve estar dentro do conjunto.

Passo 3

No nosso caso, o intervalo [0,1] inclui todos os números reais entre 0 e 1, incluindo os próprios 0 e 1. Vamos considerar uma sequência qualquer de números dentro desse intervalo que converge para algum limite L. Precisamos mostrar que esse limite L também está dentro de [0,1].

Passo 4

Como todos os termos da sequência estão em [0,1], sabemos que cada termo an satisfaz 0 <= an <= 1. Quando a sequência converge para L, os limites também respeitam essas desigualdades. Portanto:
0 <= L <= 1

Passo 5

Isso significa que o limite L está no intervalo [0,1]. Já que qualquer sequência que converja dentro de [0,1] tem seu limite também em [0,1], concluímos que [0,1] contém todos os seus pontos limite.

Resposta

Assim, comprovamos que o intervalo fechado [0,1] é, de fato, um conjunto fechado.

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