Mostre que o conjunto Q não nem aberto, nem fechado. Mostre com cálculos

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o conjunto dos números racionais, representado por Q, não é nem aberto nem fechado. Para isso, vamos precisar entender um pouco de topologia básica, focando nos conceitos de conjuntos abertos e fechados. Vamos usar alguns cálculos e argumentos para demonstrar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser aberto. Em termos simples, um conjunto é aberto se, para qualquer ponto dentro dele, dá para traçar um pequeno intervalo (ou bola, no caso multidimensional) ao redor desse ponto que ainda está totalmente dentro do conjunto.
No caso de Q, queremos verificar se isso é verdade. Vamos pegar um número racional qualquer, digamos q in Q, e tentar encontrar um intervalo ao redor de q que contenha apenas números racionais.

Passo 3

Porém, sabemos que entre dois números racionais sempre existe um número irracional. Isso significa que, mesmo que tentemos desenhar um intervalo pequeno ao redor de q, sempre vai ter números irracionais dentro desse intervalo que não estão em Q.
Matematicamente, para qualquer epsilon > 0, o intervalo (q - epsilon, q + epsilon) conterá números irracionais, ou seja, (q - epsilon, q + epsilon) notsubseteq Q.
Então, não existe um intervalo totalmente aberto dentro de Q que contenha q. Portanto, Q não é um conjunto aberto.

Passo 4

Agora, vamos verificar se Q é fechado. Um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de acumulação, ou seja, se toda sequência que converge dentro do conjunto tem seu limite também dentro do conjunto.
Considere a sequência dos racionais que converge para um número irracional, por exemplo, a sequência que se aproxima de raiz2. Todos os termos dessa sequência estão em Q, mas o limite, raiz2, não está em Q.
Isso mostra que Q não contém todos os seus pontos de acumulação, logo, Q não é um conjunto fechado.

Resposta

Portanto, demonstramos que o conjunto dos números racionais Q não é nem aberto, nem fechado.

Exercícios relacionados