Encontre a forma polar de TODOS os valores de:
e
Passo 1
O enunciado pede duas coisas diferentes:
- Encontrar a forma polar de TODOS os valores de
(ou seja, todas as raízes cúbicas de ). - Encontrar a forma polar de
.
Informações dadas (explicitamente): o número complexo envolvido é
. Nada mais foi dado, portanto vamos trabalhar a partir de
e aplicar as fórmulas de representação polar, potência e raízes de números complexos.
Passo 2
Converter
para forma polar (isso é necessário porque potência e raízes ficam fáceis em polar).
Definição rápida e prática:
- O módulo (ou magnitude) de um complexo
é . - O argumento (ângulo) é o ângulo
tal que e . Em prática usa-se a função para achar no quadrante certo; mas para pontos simples como já sabemos o ângulo.
Calculemos para
:
O ponto
está no primeiro quadrante e forma um ângulo de
, isto é
. Assim, uma representação em polar é
Observação importante para raízes: o argumento pode ser tomado como
para qualquer inteiro
, porque adicionar
dá o mesmo ponto no plano complexo.
Passo 3
Regra para potências (De Moivre):
Se um número complexo tem forma polar , então para inteiro
Se um número complexo tem forma polar
Isto significa: eleva-se o módulo à potência
e multiplica-se o ângulo por
.
Aplicando a
: como
, temos
Calculemos o módulo:
O ângulo é
Portanto, em forma polar:
ou, na forma trigonométrica,
Passo 4
Regra para raízes n-ésimas (fórmula geral):
Se e queremos as todas as
-ésimas raízes de
, então as raízes são os números
Se
Motivação curta (didática): queremos
tal que
. Escrevendo
e impondo
e
para algum inteiro
, obtemos
e
. Como mudar
por
gera o mesmo
modulo
, bastam os
valores
.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao caso
e
.
O módulo das raízes cúbicas será
Os argumentos das três raízes são
Calculemos cada um explicitamente (simplificando as frações de
):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Portanto as três raízes cúbicas em forma polar (usando a notação
ou trigonométrica) são
Passo 6
Verificação rápida (sanity check): se elevarmos qualquer uma dessas raízes à terceira potência recuperamos
. Por exemplo, para
:
Isso confirma que a fórmula foi aplicada corretamente.