Encontre a forma polar de TODOS os valores de: (1+i)^{1 / 3} e (1+i)^{3}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas diferentes:
  • Encontrar a forma polar de TODOS os valores de (1+i)^{1/3} (ou seja, todas as raízes cúbicas de 1+i).
  • Encontrar a forma polar de (1+i)^{3}.
Informações dadas (explicitamente): o número complexo envolvido é 1+i. Nada mais foi dado, portanto vamos trabalhar a partir de 1+i e aplicar as fórmulas de representação polar, potência e raízes de números complexos.

Passo 2

Converter 1+i para forma polar (isso é necessário porque potência e raízes ficam fáceis em polar).
Definição rápida e prática:
  • O módulo (ou magnitude) de um complexo a+bi é \sqrt{a^2+b^2}.
  • O argumento (ângulo) é o ângulo \theta tal que \cos\theta = a/r e \sin\theta = b/r. Em prática usa-se a função \operatorname{atan2}(b,a) para achar \theta no quadrante certo; mas para pontos simples como (1,1) já sabemos o ângulo.
Calculemos para 1+i:
r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.
O ponto (1,1) está no primeiro quadrante e forma um ângulo de 45^\circ, isto é \pi/4. Assim, uma representação em polar é
1+i=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}.
Observação importante para raízes: o argumento pode ser tomado como \pi/4+2\pi k para qualquer inteiro k, porque adicionar 2\pi dá o mesmo ponto no plano complexo.

Passo 3

Regra para potências (De Moivre):
Se um número complexo tem forma polar \,re^{i\theta}\,, então para inteiro n
(re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}.
Isto significa: eleva-se o módulo à potência n e multiplica-se o ângulo por n.
Aplicando a (1+i)^3: como (1+i)=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}, temos
(1+i)^3 = (\sqrt{2})^3 e^{i 3(\pi/4)}.
Calculemos o módulo:
(\sqrt{2})^3 = 2^{3/2} = 2\sqrt{2}.
O ângulo é
3\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.
Portanto, em forma polar:
(1+i)^3 = 2\sqrt{2}\,e^{i\,3\pi/4},
ou, na forma trigonométrica,
(1+i)^3 = 2\sqrt{2}\big(\cos(3\pi/4)+i\sin(3\pi/4)\big).

Passo 4

Regra para raízes n-ésimas (fórmula geral):
Se z = r e^{i\theta} e queremos as todas as n-ésimas raízes de z, então as raízes são os números
w_k = r^{1/n} e^{i(\theta + 2\pi k)/n},\qquad k=0,1,\dots,n-1.
Motivação curta (didática): queremos w tal que w^n = z. Escrevendo w=\rho e^{i\varphi} e impondo \rho^n = r e n\varphi = \theta + 2\pi m para algum inteiro m, obtemos \rho = r^{1/n} e \varphi = (\theta+2\pi m)/n. Como mudar m por m+n gera o mesmo \varphi modulo 2\pi, bastam os n valores m=0,\dots,n-1.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao caso n=3 e z=1+i=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}.
O módulo das raízes cúbicas será
\rho = (\sqrt{2})^{1/3} = 2^{1/6}.
Os argumentos das três raízes são
\phi_k = \frac{\pi/4 + 2\pi k}{3},\qquad k=0,1,2.
Calculemos cada um explicitamente (simplificando as frações de \pi):
  • Para k=0:
\phi_0 = \frac{\pi/4}{3} = \frac{\pi}{12}.
  • Para k=1:
\phi_1 = \frac{\pi/4 + 2\pi}{3} = \frac{\pi/4 + 8\pi/4}{3} = \frac{9\pi/4}{3} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}.
  • Para k=2:
\phi_2 = \frac{\pi/4 + 4\pi}{3} = \frac{\pi/4 + 16\pi/4}{3} = \frac{17\pi/4}{3} = \frac{17\pi}{12}.
Portanto as três raízes cúbicas em forma polar (usando a notação re^{i\theta} ou trigonométrica) são
w_0 = 2^{1/6} e^{i\pi/12},\qquad w_1 = 2^{1/6} e^{i3\pi/4},\qquad w_2 = 2^{1/6} e^{i17\pi/12}.

Passo 6

Verificação rápida (sanity check): se elevarmos qualquer uma dessas raízes à terceira potência recuperamos 1+i. Por exemplo, para w_0:
w_0^3 = \big(2^{1/6}\big)^3 e^{i3(\pi/12)} = 2^{1/2} e^{i\pi/4} = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4} = 1+i.
Isso confirma que a fórmula foi aplicada corretamente.

Resposta

(1+i)^{1/3}:\; 2^{1/6} e^{i\pi/12},\; 2^{1/6} e^{i3\pi/4},\; 2^{1/6} e^{i17\pi/12}
(1+i)^{3}:\; 2\sqrt{2}\,e^{i3\pi/4}

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