Obtenha todas as potências de
, de
a
. Usando o padrão observado, calcule
usando a expressão em série da exponencial. Reconheça as séries de
e
e obtenha a identidade de Euler. Usando a fórmula de Euler se convença que
(
e que
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
- Pedidos:
- Obter todas as potências de
de a . - Usando o padrão observado, calcular
a partir da série da exponencial. - Reconhecer nas somas as séries de
e e obter a identidade de Euler. - Usando a fórmula de Euler, mostrar que
para (isto é, para inteiro ímpar) e que para .
- Obter todas as potências de
- Informações relevantes que usamos:
-
é a unidade imaginária, isto é, . - A série de Taylor (definição por série) da exponencial complexa é válida: para todo número complexo
,
- As séries de seno e cosseno (válidas para todo
) são:
-
- Não começamos a resolver ainda; apenas listamos o que será feito.
Passo 2
Calcular as potências
a
passo a passo, usando
.
- Por definição,
. -
. -
(definição da unidade imaginária). -
. -
.
Agora vemos que a partir dea sequência se repete (porque ). Continuando, -
. -
. -
. -
.
Resumo (para fixar o padrão ciclico de período 4):
Passo 3
Explicar a série da exponencial complexa e substituí-la com
.
- A definição por série da exponencial vale para números complexos também; isto é, se
,
Aqui
significa multiplicar
por si mesmo
vezes, e
é fatorial. A série converge absolutamente para todo
, então não há problema em usar
com
.
- Substituindo
temos
Agora vamos separar essa soma em termos com
par e
ímpar, porque
tem valores reais quando
é par e valores puramente imaginários quando
é ímpar (pela tabela de potências que fizemos).
Passo 4
Separar a série em termos pares e ímpares e reindexar.
- Escrevemos a soma como soma sobre
(pares) mais soma sobre (ímpares):
- Usar o fato que
(pois ) e que . Substituindo:
Passo 5
Reconhecer as séries de
e
.
- Compare cada soma com as séries conhecidas:
- A série
é exatamente a série de . - A série
é exatamente a série de .
- A série
- Portanto substituindo essas identidades na expressão de
obtemos diretamente:
Isto é a famosa identidade de Euler. Interpretação: a exponencial complexa transforma um número real
em um ponto no círculo unitário do plano complexo com coordenadas
.
Passo 6
Pequena aula sobre o que cada símbolo significa e por que a troca é válida.
-
é um número real (um ângulo), e são as funções trigonométricas usuais. - A igualdade
vale para todo porque as séries envolvidas convergem absolutamente e, termo a termo, a separação em pares/ímpares é legítima. - Consequência prática: exponenciais com argumento imaginário descrevem rotações no plano complexo; multiplicar por
corresponde a girar vetores complexos em radianos.
Passo 7
Usar a fórmula de Euler para calcular
quando
é inteiro ímpar.
- Aplicando
na identidade:
- Sabemos das identidades trigonométricas que, para inteiro
,
- Portanto
- Se
é ímpar (por exemplo ), então . Assim para ímpar
Passo 8
Usar a fórmula de Euler para calcular
quando
.
- Tomando
na identidade:
- Para todo inteiro
vale e . Logo
- Observação intuitiva: girar por
radianos (uma volta completa) traz o ponto de volta ao mesmo lugar no círculo unitário, por isso o resultado é .