Obtenha todas as potências de i, de i^{0} a i^{8}. Usando o padrão observado, calcule e^{i \theta} usando a expressão em série da exponencial. Reconheça as séries de \sin \theta e \cos \theta e obtenha a identidade de Euler. Usando a fórmula de Euler se convença que e^{\text {im } \pi}=-1 ( m= \pm 1, \pm 3, \ldots) e que e^{i m 2 \pi}=+1(m \in \mathbb{Z}).

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pedidos:
    1. Obter todas as potências de i de i^{0} a i^{8}.
    2. Usando o padrão observado, calcular e^{i\theta} a partir da série da exponencial.
    3. Reconhecer nas somas as séries de \sin\theta e \cos\theta e obter a identidade de Euler.
    4. Usando a fórmula de Euler, mostrar que e^{\mathrm{i}m\pi}=-1 para m=\pm1,\pm3,\ldots (isto é, para m inteiro ímpar) e que e^{\mathrm{i}m2\pi}=+1 para m\in\mathbb{Z}.
  • Informações relevantes que usamos:
    • i é a unidade imaginária, isto é, i^2=-1.
    • A série de Taylor (definição por série) da exponencial complexa é válida: para todo número complexo z,
    e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}.
    • As séries de seno e cosseno (válidas para todo \theta\in\mathbb{R}) são:
    \cos\theta=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\theta^{2k}}{(2k)!},\qquad \sin\theta=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}.
  • Não começamos a resolver ainda; apenas listamos o que será feito.

Passo 2

Calcular as potências i^{0} a i^{8} passo a passo, usando i^{2}=-1.
  • Por definição, i^{0}=1.
  • i^{1}=i.
  • i^{2}=-1 (definição da unidade imaginária).
  • i^{3}=i^{2}\cdot i=(-1)\cdot i=-i.
  • i^{4}=i^{2}\cdot i^{2}=(-1)(-1)=1.
    Agora vemos que a partir de i^{4} a sequência se repete (porque i^{4}=1). Continuando,
  • i^{5}=i^{4}\cdot i=1\cdot i=i.
  • i^{6}=i^{4}\cdot i^{2}=1\cdot(-1)=-1.
  • i^{7}=i^{4}\cdot i^{3}=1\cdot(-i)=-i.
  • i^{8}=i^{4}\cdot i^{4}=1\cdot1=1.
    Resumo (para fixar o padrão ciclico de período 4):
i^0=1,\quad i^1=i,\quad i^2=-1,\quad i^3=-i,\quad i^4=1,\quad i^5=i,\quad i^6=-1,\quad i^7=-i,\quad i^8=1.

Passo 3

Explicar a série da exponencial complexa e substituí-la com z=\mathrm{i}\theta.
  • A definição por série da exponencial vale para números complexos também; isto é, se z\in\mathbb{C},
e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}.
Aqui z^{n} significa multiplicar z por si mesmo n vezes, e n! é fatorial. A série converge absolutamente para todo z, então não há problema em usar z=\mathrm{i}\theta com \theta\in\mathbb{R}.
  • Substituindo z=\mathrm{i}\theta temos
e^{\mathrm{i}\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\mathrm{i}\theta)^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\mathrm{i}^{n}\theta^{n}}{n!}.
Agora vamos separar essa soma em termos com n par e n ímpar, porque \mathrm{i}^{n} tem valores reais quando n é par e valores puramente imaginários quando n é ímpar (pela tabela de potências que fizemos).

Passo 4

Separar a série em termos pares e ímpares e reindexar.
  • Escrevemos a soma como soma sobre n=2k (pares) mais soma sobre n=2k+1 (ímpares):
e^{\mathrm{i}\theta}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\mathrm{i}^{2k}\theta^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\mathrm{i}^{2k+1}\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}.
  • Usar o fato que \mathrm{i}^{2k}=(\mathrm{i}^{2})^{k}=(-1)^{k} (pois \mathrm{i}^2=-1) e que \mathrm{i}^{2k+1}=\mathrm{i}\,(\mathrm{i}^{2})^{k}=\mathrm{i}(-1)^{k}. Substituindo:
e^{\mathrm{i}\theta}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\theta^{2k}}{(2k)!}+\mathrm{i}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}.

Passo 5

Reconhecer as séries de \cos\theta e \sin\theta.
  • Compare cada soma com as séries conhecidas:
    • A série \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\theta^{2k}}{(2k)!} é exatamente a série de \cos\theta.
    • A série \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\theta^{2k+1}}{(2k+1)!} é exatamente a série de \sin\theta.
  • Portanto substituindo essas identidades na expressão de e^{\mathrm{i}\theta} obtemos diretamente:
e^{\mathrm{i}\theta}=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta.
Isto é a famosa identidade de Euler. Interpretação: a exponencial complexa transforma um número real \theta em um ponto no círculo unitário do plano complexo com coordenadas (\cos\theta,\sin\theta).

Passo 6

Pequena aula sobre o que cada símbolo significa e por que a troca é válida.
  • \theta é um número real (um ângulo), \cos\theta e \sin\theta são as funções trigonométricas usuais.
  • A igualdade \displaystyle e^{\mathrm{i}\theta}=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta vale para todo \theta\in\mathbb{R} porque as séries envolvidas convergem absolutamente e, termo a termo, a separação em pares/ímpares é legítima.
  • Consequência prática: exponenciais com argumento imaginário descrevem rotações no plano complexo; multiplicar por e^{\mathrm{i}\theta} corresponde a girar vetores complexos em \theta radianos.

Passo 7

Usar a fórmula de Euler para calcular e^{\mathrm{i}m\pi} quando m é inteiro ímpar.
  • Aplicando \theta=m\pi na identidade:
e^{\mathrm{i}m\pi}=\cos(m\pi)+\mathrm{i}\sin(m\pi).
  • Sabemos das identidades trigonométricas que, para inteiro m,
\cos(m\pi)=(-1)^{m},\qquad \sin(m\pi)=0.
  • Portanto
e^{\mathrm{i}m\pi}=(-1)^{m}.
  • Se m é ímpar (por exemplo m=\pm1,\pm3,\ldots), então (-1)^{m}=-1. Assim para m ímpar
e^{\mathrm{i}m\pi}=-1.

Passo 8

Usar a fórmula de Euler para calcular e^{\mathrm{i}m2\pi} quando m\in\mathbb{Z}.
  • Tomando \theta=m2\pi na identidade:
e^{\mathrm{i}m2\pi}=\cos(m2\pi)+\mathrm{i}\sin(m2\pi).
  • Para todo inteiro m vale \cos(m2\pi)=1 e \sin(m2\pi)=0. Logo
e^{\mathrm{i}m2\pi}=1.
  • Observação intuitiva: girar por 2\pi radianos (uma volta completa) traz o ponto de volta ao mesmo lugar no círculo unitário, por isso o resultado é 1.

Resposta

i^0=1,\; i^1=i,\; i^2=-1,\; i^3=-i,\; i^4=1,\; i^5=i,\; i^6=-1,\; i^7=-i,\; i^8=1
e^{\mathrm{i}\theta}=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta
e^{\mathrm{i}m\pi}=-1 para m=\pm1,\pm3,\ldots (inteiros ímpares)
e^{\mathrm{i}m2\pi}=1 para m\in\mathbb{Z}

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