Esboce o Branch cut da função
caso se escolha
. Pode supor que
e
são reais.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Esboçar (descrever) o corte de ramo (branch cut) da função
quando as convenções de argumento escolhidas são: - para o fator
: ; - para o fator
: .
- para o fator
- Foi dito que
e são reais. Pode-se assumir, sem perda de generalidade, que (se basta trocar nomes).
Informações relevantes dadas:
- A raiz quadrada será entendida via o logaritmo complexo: , e a escolha de implica uma descontinuidade (corte) onde o argumento do número complexo atinge a borda do intervalo escolhido.
- Para
o argumento é tomado no intervalo (discontinuidade na direção , i.e. eixo negativo local). - Para
o argumento é tomado no intervalo (discontinuidade na direção , i.e. eixo positivo local). - Objetivo: determinar, no plano
, quais curvas a partir de e correspondem a essas descontinuidades e então dar o corte de ramo da função produto.
Passo 2
Relembrando a ideia: como a raiz é feita por
, cada fator
e
tem uma descontinuidade onde o seu argumento cruza a borda do intervalo escolhido. Em coordenadas centradas em
consideramos o mapa
; a descontinuidade ocorre para os
tais que
está sobre o raio cuja direção corresponde à borda do intervalo de argumento. O mesmo vale para
.
Explicando com calma: se o intervalo de
é
, a borda é o ângulo
(ou
, mesmo ponto direcional) — isto é o eixo real negativo em coordenadas centradas em
. Se o intervalo é
, a borda é o ângulo
(ou
) — isto é o eixo real positivo em coordenadas centradas em
.
Passo 3
Localize o corte devido a
(com
).
- A descontinuidade de
ocorre quando está sobre o semi-eixo real negativo, isto é quando - Resolvendo para
obtemos
Interpretação: no plano
isso é a semirreta real que vai de
para a esquerda até
. Em particular
é um ponto de ramificação (branch point) e toda a semirreta
é a localização do salto de fase para o fator
.
Passo 4
Localize o corte devido a
(com
).
- A descontinuidade de
ocorre quando está sobre o semi-eixo real positivo, isto é quando - Resolvendo para
obtemos
Interpretação: no plano
isso é a semirreta real que vai de
para a direita até
. Novamente
é um branch point e a semirreta
é onde o outro fator tem salto de fase.
Passo 5
Juntando os cortes dos dois fatores para a função produto
.
- A raiz do produto pode ser construída pegando
com a convenção
e com a convenção , e então - As descontinuidades do lado direito aparecem onde qualquer um dos dois logs é descontínuo. Portanto o corte de ramo da função
é a união dos dois semi-eixos encontrados: - Observação sobre o segmento entre
e : para real temos e . Com as convenções dadas isso gera argumentos e (ambos valores dentro dos intervalos escolhidos), ou seja não há salto ao atravessar verticalmente o segmento . Assim o segmento não é parte do corte (com essas escolhas de argumento).
Passo 6
Resumo didático e interpretação geométrica (para esboço mental):
- O branch point em
está conectado por uma semirreta indo para a esquerda até . - O branch point em
está conectado por uma semirreta indo para a direita até . - Portanto, no eixo real e assumindo
, o corte de ramo é formado por duas “pontas” saindo dos pontos de ramificação para extremos opostos do eixo real: uma para a esquerda a partir de , outra para a direita a partir de .
Resposta
O corte de ramo é
(assumindo
).