Esboce o Branch cut da função \sqrt{(z-a)(z-b)} caso se escolha \theta_{a}=\{\ldots,[-\pi, \pi), \ldots\} \mathrm{e} \theta_{b}=\{\ldots,[0,2 \pi), \ldots\}. Pode supor que a e b são reais.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Esboçar (descrever) o corte de ramo (branch cut) da função \sqrt{(z-a)(z-b)} quando as convenções de argumento escolhidas são:
    • para o fator (z-a): \theta_a=\{\ldots,[-\pi,\pi),\ldots\};
    • para o fator (z-b): \theta_b=\{\ldots,[0,2\pi),\ldots\}.
  • Foi dito que a e b são reais. Pode-se assumir, sem perda de generalidade, que a<b (se a>b basta trocar nomes).
Informações relevantes dadas:
  • A raiz quadrada será entendida via o logaritmo complexo: \sqrt{w}=e^{\frac{1}{2}\Log w}, e a escolha de \Log implica uma descontinuidade (corte) onde o argumento do número complexo atinge a borda do intervalo escolhido.
  • Para (z-a) o argumento é tomado no intervalo [-\pi,\pi) (discontinuidade na direção \arg=-\pi, i.e. eixo negativo local).
  • Para (z-b) o argumento é tomado no intervalo [0,2\pi) (discontinuidade na direção \arg=0, i.e. eixo positivo local).
  • Objetivo: determinar, no plano z, quais curvas a partir de a e b correspondem a essas descontinuidades e então dar o corte de ramo da função produto.

Passo 2

Relembrando a ideia: como a raiz é feita por \Log, cada fator (z-a) e (z-b) tem uma descontinuidade onde o seu argumento cruza a borda do intervalo escolhido. Em coordenadas centradas em a consideramos o mapa w=z-a; a descontinuidade ocorre para os z tais que w está sobre o raio cuja direção corresponde à borda do intervalo de argumento. O mesmo vale para z-b.
Explicando com calma: se o intervalo de \arg é [-\pi,\pi), a borda é o ângulo \pi (ou -\pi, mesmo ponto direcional) — isto é o eixo real negativo em coordenadas centradas em a. Se o intervalo é [0,2\pi), a borda é o ângulo 0 (ou 2\pi) — isto é o eixo real positivo em coordenadas centradas em b.

Passo 3

Localize o corte devido a (z-a) (com \theta_a=[-\pi,\pi)).
  • A descontinuidade de \arg(z-a) ocorre quando z-a está sobre o semi-eixo real negativo, isto é quando z-a\in(-\infty,0].
  • Resolvendo para z obtemos z\in(-\infty,a].
Interpretação: no plano z isso é a semirreta real que vai de a para a esquerda até -\infty. Em particular z=a é um ponto de ramificação (branch point) e toda a semirreta (-\infty,a] é a localização do salto de fase para o fator (z-a).

Passo 4

Localize o corte devido a (z-b) (com \theta_b=[0,2\pi)).
  • A descontinuidade de \arg(z-b) ocorre quando z-b está sobre o semi-eixo real positivo, isto é quando z-b\in[0,\infty).
  • Resolvendo para z obtemos z\in[b,\infty).
Interpretação: no plano z isso é a semirreta real que vai de b para a direita até +\infty. Novamente z=b é um branch point e a semirreta [b,\infty) é onde o outro fator tem salto de fase.

Passo 5

Juntando os cortes dos dois fatores para a função produto \sqrt{(z-a)(z-b)}.
  • A raiz do produto pode ser construída pegando \Log(z-a) com a convenção [-\pi,\pi) e \Log(z-b) com a convenção [0,2\pi), e então \sqrt{(z-a)(z-b)}=\exp\!\Big(\tfrac{1}{2}\big(\Log(z-a)+\Log(z-b)\big)\Big).
  • As descontinuidades do lado direito aparecem onde qualquer um dos dois logs é descontínuo. Portanto o corte de ramo da função \sqrt{(z-a)(z-b)} é a união dos dois semi-eixos encontrados: (-\infty,a]\\ \cup\\ [b,\infty).
  • Observação sobre o segmento entre a e b: para x\in(a,b) real temos (x-a)>0 e (x-b)<0. Com as convenções dadas isso gera argumentos \arg(z-a)=0 e \arg(z-b)=\pi (ambos valores dentro dos intervalos escolhidos), ou seja não há salto ao atravessar verticalmente o segmento (a,b). Assim o segmento [a,b] não é parte do corte (com essas escolhas de argumento).

Passo 6

Resumo didático e interpretação geométrica (para esboço mental):
  • O branch point em z=a está conectado por uma semirreta indo para a esquerda até -\infty.
  • O branch point em z=b está conectado por uma semirreta indo para a direita até +\infty.
  • Portanto, no eixo real e assumindo a<b, o corte de ramo é formado por duas “pontas” saindo dos pontos de ramificação para extremos opostos do eixo real: uma para a esquerda a partir de a, outra para a direita a partir de b.

Resposta

O corte de ramo é (- \infty,a] \cup [b,\infty) (assumindo a<b).

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