Encontre a forma quadrática associada a cada notação matricial a seguir.
[x, y]=\left[\begin{array}{rr}2 & -3 \\\\ -3 & 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a forma quadrática associada à notação matricial dada. As informações fornecidas são:
  • A matriz
A=\begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt]-3 & 5\end{pmatrix}
  • O vetor de variáveis
\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}
  • A notação apresentada corresponde ao produto
[x\;,\;y]\,A\,\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}.
A pergunta é: qual é a forma quadrática (ou seja, a expressão em x e y) correspondente a esse produto matricial?]

Passo 2

O que é uma forma quadrática na prática? É uma expressão polinomial homogênea de grau 2 em x e y obtida pelo produto
q(x,y) = \begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix} A \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}.
Aqui \begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix} é o vetor linha (transposto do vetor coluna) e A é a matriz simétrica dada. Para calcular q(x,y) fazemos primeiro A vezes o vetor coluna e depois o produto escalar com o vetor linha.]

Passo 3

Calcule A multiplicado pelo vetor \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}. Fazendo produto linha por coluna:
A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot x + (-3)\cdot y\\[4pt] (-3)\cdot x + 5\cdot y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x - 3y\\[4pt] -3x + 5y \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora faça o produto da linha \begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix} com o vetor obtido:
q(x,y)=\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2x - 3y\\[4pt] -3x + 5y \end{pmatrix} = x(2x - 3y) + y(-3x + 5y).
Desenvolvendo e juntando termos semelhantes:
q(x,y)=2x^{2} -3xy -3xy +5y^{2}=2x^{2}-6xy+5y^{2}.]

Passo 5

Dica rápida para a prova: se a matriz A=(a_{ij}) é simétrica, dá para lembrar a fórmula direta
q(x,y)=a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}.
Aqui a_{11}=2, a_{12}=-3 e a_{22}=5. Substituindo vem 2x^{2}+2(-3)xy+5y^{2}=2x^{2}-6xy+5y^{2}, que bate com o cálculo anterior.

Resposta

2x^{2}-6xy+5y^{2}

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