Encontre a forma quadrática associada a cada notação matricial a seguir.
\left[x_{1}, x_{1}, x_{3}\right]=\left[\begin{array}{rrr}-2 & \frac{7}{2} & 1 \\\ \frac{7}{2} & 0 & 6 \\\\ 1 & 6 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a notação matricial da forma quadrática associada à matriz
A=\begin{pmatrix} -2 & \tfrac{7}{2} & 1\\[4pt] \tfrac{7}{2} & 0 & 6\\[4pt] 1 & 6 & 3 \end{pmatrix}
e o vetor de variáveis (implícito) \begin{bmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{bmatrix}.
A tarefa é: encontrar explicitamente a forma quadrática q(x_{1},x_{2},x_{3}) correspondente à expressão matricial \;x^{T}Ax\; escrita acima.]

Passo 2

O que é uma forma quadrática e como expandi-la (aula rápida e prática).
Definição prática: para um vetor \;x=\begin{bmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{bmatrix}\; e matriz simétrica A=(a_{ij}), a forma quadrática é
q(x)=x^{T}Ax.
Uma fórmula útil para expandir x^{T}Ax é
q(x)=\sum_{i=1}^{3} a_{ii}\,x_{i}^{2}+2\sum_{1\le i<j\le 3} a_{ij}\,x_{i}x_{j}.
Explicando essa fórmula de leve: os termos diagonais a_{ii} aparecem multiplicando x_{i}^{2} uma vez; os termos fora da diagonal a_{ij} e a_{ji} aparecem duas vezes em x^{T}Ax, por isso usamos o fator 2 ao somar apenas para i<j. Isso simplifica a expansão quando A é simétrica (como é o caso aqui).]

Passo 3

Identificar os elementos da matriz A que vamos usar na fórmula:
  • Diagonais: a_{11}=-2,\; a_{22}=0,\; a_{33}=3.
  • Fora da diagonal (com i<j): a_{12}=\tfrac{7}{2},\; a_{13}=1,\; a_{23}=6.

Passo 4

Aplicar a fórmula:
Diagonais contribuem:
a_{11}x_{1}^{2}=(-2)x_{1}^{2},\qquad a_{22}x_{2}^{2}=0\cdot x_{2}^{2}=0,\qquad a_{33}x_{3}^{2}=3x_{3}^{2}.
Fora da diagonal contribuem (com o fator 2):
2a_{12}x_{1}x_{2}=2\cdot\tfrac{7}{2}\,x_{1}x_{2}=7x_{1}x_{2},
2a_{13}x_{1}x_{3}=2\cdot 1\cdot x_{1}x_{3}=2x_{1}x_{3},
2a_{23}x_{2}x_{3}=2\cdot 6\cdot x_{2}x_{3}=12x_{2}x_{3}.

Passo 5

Somando todas as contribuições, obtemos a forma quadrática simplificada:
q(x_{1},x_{2},x_{3})=-2x_{1}^{2}+7x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+12x_{2}x_{3}+3x_{3}^{2}.
Se quiser conferir de outro jeito, pode calcular y=Ax componente a componente e então x^{T}y; dá o mesmo resultado — é só aritmética.

Resposta

-2x_{1}^{2}+7x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+12x_{2}x_{3}+3x_{3}^{2}

Exercícios relacionados