Encontrar o vetor tangente, a equação da tangente e a equação do plano normal à curva r=t i+t^2 j+t^3 k no ponto P=(3,9,27).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o vetor tangente, a equação da reta tangente e a equação do plano normal à curva dada por no ponto . Aqui, a matéria envolvida é o cálculo vetorial, principalmente derivadas de vetores para achar vetores tangentes. Vamos precisar calcular a derivada da posição em relação a , identificar o valor de correspondente ao ponto e usar essas informações para achar as equações pedidas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir para qual valor de t = 3 t^2 = 9 t^3 = 27 o vetor posição é igual ao ponto . Igualando cada componente:
Vemos que satisfaz todas as equações, então é o parâmetro que nos interessa.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor tangente à curva nesse ponto. Para isso, derivamos r,'(t) = ddt(t i + t^2 j + t^3 k) = i + 2t j + 3t^2 k em relação a r,'(3) = i + 2(3) j + 3(3)^2 k = i + 6 j + 27 k :
Substituindo :
Então, o vetor tangente em é .

Passo 4

Com o vetor tangente e o ponto r = P + s vtan>=nte , podemos escrever a equação da reta tangente. A forma vetorial da reta é:
r = (3 i + 9 j + 27 k) + s (i + 6 j + 27 k)
Onde é um parâmetro. Substituindo os valores:
Isso dá a equação da reta tangente.

Passo 5

Para achar a equação do plano normal, sabemos que ele é perpendicular ao vetor tangente e passa pelo ponto vtan>=nte cdot (r - P) = 0 . A equação geral de um plano é:
(1)(x - 3) + 6(y - 9) + 27(z - 27) = 0
Substituindo x + 6y + 27z - 3 - 54 - 729 = 0 x + 6y + 27z = 786 e :
Simplificando:
Então, a equação do plano normal é .

Resposta

  • Vetor Tangente:
  • Equação da Reta Tangente: , onde é um parâmetro real.
  • Equação do Plano Normal: .

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