Encontre a forma de uma solução particular para a equação y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=e^{t}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma forma de uma solução particular para a equação diferencial
y'' + 2y' - 3y = e^{t}.
Informações dadas e o que precisamos obter:
  • A equação é linear, de coeficientes constantes, e não homogênea (pois o lado direito é e^{t}).
  • Queremos uma função y_p(t) que satisfaça a equação diferencial inteira (ou seja, uma solução particular).
  • Não é pedido a solução geral, apenas a forma de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, identifico a equação homogênea associada para saber se o termo forçante e^{t} é ressonante com as soluções homogêneas. A equação homogênea é
y'' + 2y' - 3y = 0.
Para resolver essa homogênea, montamos a equação característica. Sempre que temos uma equação linear com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo y=e^{rt}; substituindo obtemos a equação polinomial em r:
r^{2} + 2r - 3 = 0.

Passo 3

Vou resolver a equação característica. É um polinômio quadrático; fatorando:
r^{2} + 2r - 3 = (r-1)(r+3).
Logo as raízes são r=1 e r=-3. Isso significa que as soluções da homogênea são e^{t} e e^{-3t}. Observação importante: o termo forçante do lado direito é e^{t}, que coincide com uma solução da homogênea (corresponde à raiz r=1). Em linguagem de método de coeficientes indeterminados, temos ressonância com multiplicidade 1.

Passo 4

Explico rapidamente a regra do método dos coeficientes indeterminados (na linguagem prática que você vai usar na prova): quando o termo à direita é de forma P(t)e^{\alpha t} (aqui P é polinômio e \alpha=1), tentamos uma solução particular da forma t^{s}Q(t)e^{\alpha t}, onde Q é um polinômio da mesma ordem de P com coeficientes a determinar, e s é o menor inteiro não negativo tal que nenhum termo de t^{s}Q(t)e^{\alpha t} seja solução da homogênea. Se e^{\alpha t} é raiz da característica de multiplicidade m, então s=m. Aqui e^{t} é raiz simples ( m=1), então devemos multiplicar por t^{1}.
O termo à direita é simplesmente e^{t} (isto é, P(t)=1, polinômio constante). Então escolhemos o ansatz (palavra chique para “palpite com coeficientes a ajustar”):
y_{p}(t) = A\,t e^{t},
onde A é uma constante a ser determinada.

Passo 5

Agora calculamos as derivadas de y_{p}. Vou mostrar passo a passo usando regra do produto e a derivada de e^{t} que é e^{t}.
Começando por
y_{p}(t) = A\,t e^{t}.
Derivando uma vez (produto t e e^{t}):
y_{p}'(t) = A\big( (t)' e^{t} + t (e^{t})'\big) = A\big( e^{t} + t e^{t}\big) = A e^{t}(1+t).
Agora a segunda derivada (derivando A e^{t}(1+t)):
y_{p}''(t) = A\big( (1+t)' e^{t} + (1+t)(e^{t})'\big) = A\big( 1\cdot e^{t} + (1+t)e^{t}\big) = A e^{t}(2+t).

Passo 6

Substituo y_{p}, y_{p}' e y_{p}'' na equação diferencial y'' + 2y' - 3y e simplifico passo a passo:
Primeiro escrevo cada termo com fator comum A e^{t}:
y_{p}'' = A e^{t}(2+t),
2y_{p}' = 2A e^{t}(1+t),
-3y_{p} = -3A t e^{t}.
Somando:
y_{p}'' + 2y_{p}' - 3y_{p} = A e^{t}\big( (2+t) + 2(1+t) - 3t \big).
Agora simplifico a expressão entre parênteses:
(2+t) + 2(1+t) - 3t = 2 + t + 2 + 2t - 3t = 4 + (t+2t-3t) = 4 + 0 = 4.
Portanto
y_{p}'' + 2y_{p}' - 3y_{p} = A e^{t} \cdot 4 = 4A e^{t}.

Passo 7

Queremos que a soma anterior seja igual ao lado direito da equação, isto é e^{t}. Assim impomos
4A e^{t} = e^{t}.
Dividindo por e^{t} (que nunca é zero) obtemos
4A = 1 \quad\Rightarrow\quad A = \frac{1}{4}.

Passo 8

Concluímos que uma solução particular é obtida substituindo A=\dfrac{1}{4} no ansatz:
y_{p}(t) = \frac{1}{4}\, t e^{t}.
Comentário final de incentivo: deu trabalho por causa da ressonância, mas o truque é sempre checar as raízes da característica e multiplicar por t^{m} quando necessário. Você já tem a habilidade chave para problemas desse tipo — bora treinar mais alguns parecidos!

Resposta

y_{p}(t)=\frac{1}{4}\,t e^{t}

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