Encontre a forma de uma solução particular para a equação
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma forma de uma solução particular para a equação diferencial
Informações dadas e o que precisamos obter:
- A equação é linear, de coeficientes constantes, e não homogênea (pois o lado direito é
). - Queremos uma função
que satisfaça a equação diferencial inteira (ou seja, uma solução particular). - Não é pedido a solução geral, apenas a forma de uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, identifico a equação homogênea associada para saber se o termo forçante
é ressonante com as soluções homogêneas. A equação homogênea é
Para resolver essa homogênea, montamos a equação característica. Sempre que temos uma equação linear com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo
; substituindo obtemos a equação polinomial em
:
Passo 3
Vou resolver a equação característica. É um polinômio quadrático; fatorando:
Logo as raízes são
e
. Isso significa que as soluções da homogênea são
e
. Observação importante: o termo forçante do lado direito é
, que coincide com uma solução da homogênea (corresponde à raiz
). Em linguagem de método de coeficientes indeterminados, temos ressonância com multiplicidade
.
Passo 4
Explico rapidamente a regra do método dos coeficientes indeterminados (na linguagem prática que você vai usar na prova): quando o termo à direita é de forma
(aqui
é polinômio e
), tentamos uma solução particular da forma
, onde
é um polinômio da mesma ordem de
com coeficientes a determinar, e
é o menor inteiro não negativo tal que nenhum termo de
seja solução da homogênea. Se
é raiz da característica de multiplicidade
, então
. Aqui
é raiz simples (
), então devemos multiplicar por
.
O termo à direita é simplesmente
(isto é,
, polinômio constante). Então escolhemos o ansatz (palavra chique para “palpite com coeficientes a ajustar”):
onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 5
Agora calculamos as derivadas de
. Vou mostrar passo a passo usando regra do produto e a derivada de
que é
.
Começando por
Derivando uma vez (produto
e
):
Agora a segunda derivada (derivando
):
Passo 6
Substituo
,
e
na equação diferencial
e simplifico passo a passo:
Primeiro escrevo cada termo com fator comum
:
Somando:
Agora simplifico a expressão entre parênteses:
Portanto
Passo 7
Queremos que a soma anterior seja igual ao lado direito da equação, isto é
. Assim impomos
Dividindo por
(que nunca é zero) obtemos
Passo 8
Concluímos que uma solução particular é obtida substituindo
no ansatz:
Comentário final de incentivo: deu trabalho por causa da ressonância, mas o truque é sempre checar as raízes da característica e multiplicar por
quando necessário. Você já tem a habilidade chave para problemas desse tipo — bora treinar mais alguns parecidos!