Encontre a forma de uma solução particular para a equação
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
Verificar
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a forma de uma solução particular para a equação
Informações relevantes fornecidas:
- A equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes é
. - O termo não-homogêneo (forçamento) é
. - Foram dadas quatro opções de forma para a solução particular:
, , , .
A partir daqui vamos determinar qual forma (ansatz) é a correta e, se for útil, verificar encontrando a constante.
Passo 2
Primeiro, olhamos para a equação homogênea associada (tirando o
):
Para resolvê-la construímos a equação característica substituindo
, o que dá
Agora resolvemos essa quadrática: aplicando a fórmula de Bhaskara ou fatorando. Fatorando,
logo as raízes são
e
.
Passo 3
Explicação do método (didática e prática): quando o lado direito da equação é uma função do tipo exponencial
, o método das coeficientes indeterminados sugere tentar um ansatz da forma
onde
é constante a determinar. Contudo, há uma exceção: se
for raiz da equação característica da homogênea, com multiplicidade
, então devemos multiplicar por
, isto é usar
Resumo: escolher
se
não é raiz; se
é raiz simples usar
; se é raiz dupla usar
, e assim por diante.
Passo 4
Aplicando a regra ao nosso caso: o forçamento é
, isto é
. Das raízes da homogênea (Passo 2) vimos que as raízes são
e
. Como
NÃO é raiz da equação característica, a multiplicidade
é
. Portanto o ansatz apropriado é
ou seja a forma com uma constante multiplicativa (opção b). Vou verificar substituindo para determinar o valor de
e confirmar que essa forma funciona.
Passo 5
Verificação por substituição (mostrando todas as contas): suponha
Calcule as derivadas:
Substituímos na equação diferencial esquerda:
Somando os coeficientes em frente de
:
logo a expressão ficou
Para ser solução particular deve valer
. Dividindo ambos os lados por
(sempre positivo, não anula),
Portanto o ansatz
é válido e produz a solução particular
.
Passo 6
Recapitulando de forma motivacional: o motivo de não precisarmos multiplicar por
é que o expoente
não aparece entre as raízes da homogênea. Assim a forma mais simples
já captura a solução particular; encontramos a constante
. Boa — você acabou de ver um exemplo clássico de ressonância (ou falta dela) com exponenciais.
Resposta
b.