Encontre a forma de uma solução particular para a equação y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=e^{2 t}
Escolha uma opção:
\bigcirc a. y_{p}=e^{2 t}
\bigcirc b. y_{p}=a e^{2 t}
\bigcirc c. y_{p}=a t e^{2 t}
\bigcirc d. y_{p}=a t^{2} e^{2 t}

Verificar

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a forma de uma solução particular para a equação
y'' + 2y' - 3y = e^{2t}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes é y''+2y'-3y=e^{2t}.
  • O termo não-homogêneo (forçamento) é e^{2t}.
  • Foram dadas quatro opções de forma para a solução particular: y_p=e^{2t}, y_p=a e^{2t}, y_p=a t e^{2t}, y_p=a t^{2} e^{2t}.
    A partir daqui vamos determinar qual forma (ansatz) é a correta e, se for útil, verificar encontrando a constante.

Passo 2

Primeiro, olhamos para a equação homogênea associada (tirando o e^{2t}):
y'' + 2y' - 3y = 0.
Para resolvê-la construímos a equação característica substituindo y\sim e^{rt}, o que dá
r^{2} + 2r - 3 = 0.
Agora resolvemos essa quadrática: aplicando a fórmula de Bhaskara ou fatorando. Fatorando,
r^{2} + 2r - 3 = (r-1)(r+3)=0,
logo as raízes são r=1 e r=-3.

Passo 3

Explicação do método (didática e prática): quando o lado direito da equação é uma função do tipo exponencial e^{\alpha t}, o método das coeficientes indeterminados sugere tentar um ansatz da forma
y_{p}=A e^{\alpha t},
onde A é constante a determinar. Contudo, há uma exceção: se \alpha for raiz da equação característica da homogênea, com multiplicidade m, então devemos multiplicar por t^{m}, isto é usar
y_{p}=A t^{m} e^{\alpha t}.
Resumo: escolher A e^{\alpha t} se \alpha não é raiz; se \alpha é raiz simples usar A t e^{\alpha t}; se é raiz dupla usar A t^{2} e^{\alpha t}, e assim por diante.

Passo 4

Aplicando a regra ao nosso caso: o forçamento é e^{2t}, isto é \alpha=2. Das raízes da homogênea (Passo 2) vimos que as raízes são 1 e -3. Como \alpha=2 NÃO é raiz da equação característica, a multiplicidade m é 0. Portanto o ansatz apropriado é
y_{p}=a e^{2t},
ou seja a forma com uma constante multiplicativa (opção b). Vou verificar substituindo para determinar o valor de a e confirmar que essa forma funciona.

Passo 5

Verificação por substituição (mostrando todas as contas): suponha
y_{p}=a e^{2t}.
Calcule as derivadas:
y_{p}'=2a e^{2t},\qquad y_{p}''=4a e^{2t}.
Substituímos na equação diferencial esquerda:
y_{p}''+2y_{p}'-3y_{p} = (4a e^{2t}) + 2(2a e^{2t}) - 3(a e^{2t}).
Somando os coeficientes em frente de e^{2t}:
4a + 4a - 3a = 5a,
logo a expressão ficou
5a\, e^{2t}.
Para ser solução particular deve valer 5a\, e^{2t}=e^{2t}. Dividindo ambos os lados por e^{2t} (sempre positivo, não anula),
5a = 1 \quad\Rightarrow\quad a=\tfrac{1}{5}.
Portanto o ansatz y_{p}=a e^{2t} é válido e produz a solução particular y_{p}=\tfrac{1}{5}e^{2t}.

Passo 6

Recapitulando de forma motivacional: o motivo de não precisarmos multiplicar por t é que o expoente 2 não aparece entre as raízes da homogênea. Assim a forma mais simples a e^{2t} já captura a solução particular; encontramos a constante a=\tfrac{1}{5}. Boa — você acabou de ver um exemplo clássico de ressonância (ou falta dela) com exponenciais.

Resposta

b. y_{p}=a e^{2t}

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