Encontre a forma de uma solução particular para a equação
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Sua resposta está incorreta.
A resposta correta é:
A resposta correta é:
Passo 1
O enunciado pede a forma de uma solução particular para a equação
Informações relevantes que o enunciado dá:
- O membro não-homogêneo é
. - Queremos escolher, dentre as opções dadas, a forma apropriada para
(a solução particular). - As opções incluem formas com fatores
, , combinações e , e constantes multiplicativas.
Passo 2
Breve explicação do método que usamos (undetermined coefficients) e por que ele funciona aqui.
Quando o lado direito é uma função do tipo
multiplicada por polinômio em
, por
ou
, uma boa tentativa para a solução particular é
onde
e
são constantes a determinar. A razão é que derivando esse tipo de função obtemos combinações lineares das mesmas funções
e
, então é possível igualar coeficientes e resolver para
.
No entanto, existe um detalhe: se o número complexo
for raiz do polinômio característico da parte homogênea com multiplicidade
, então devemos multiplicar a tentativa por
(para evitar ressonância). Vou explicar como checar isso no passo seguinte.
Passo 3
Encontrar as raízes da equação característica da parte homogênea e checar ressonância.
A equação homogênea associada é
O polinômio característico é
Resolvendo:
logo as raízes são
e
. Portanto a solução homogênea é
.
Agora verifique a possível ressonância: para o RHS temos
e
, ou seja consideramos o número complexo
. Precisamos saber se
é raiz do polinômio característico. Como as únicas raízes reais são
e
, e o polinômio tem coeficientes reais de grau 2, a única maneira de
ser raiz seria se também
fosse raiz, o que adicionaria duas raízes complexas — mas já sabemos as raízes reais (e são duas). Assim
não é raiz do polinômio característico. Em termos práticos: apesar de
ser raiz real, o complexo
não é raiz; portanto não há ressonância que exija fator
.
Passo 4
Aplicando a regra do passo 2 ao nosso caso: como
e
e não há ressonância (ou seja,
não é raiz da característica), a forma apropriada da solução particular é
onde
e
são constantes indeterminadas. Essa é exatamente a forma geral que permitirá, ao substituir na equação diferencial, encontrar
e
.
Passo 5
Por que as outras alternativas estão incorretas (explicando de forma intuitiva):
- Alternativa (a)
: insuficiente porque, ao substituir, geralmente aparece mistura de e ; precisamos de dois constantes independentes e , não apenas um escalar. - Alternativa (b)
: introduz um fator desnecessário — só seria necessário se fosse raiz do polinômio característico (ressonância), o que não é o caso. - Alternativa (c)
: forma rígida que mistura as constantes de maneira fixa; é equivalente a , ou seja só tem uma constante efetiva, não duas independentes, então é insuficiente. - Alternativa (e)
: novamente inclui o fator sem necessidade (só necessário em caso de ressonância). - Alternativa (d)
: tem exatamente a forma correta com duas constantes independentes e sem fator extra , portanto é a escolha correta.