Encontre a forma de uma solução particular para a equação y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=e^{t} \sin 2 t
Escolha uma opção:
\bigcirc a. y_{p}=a e^{t} \sin 2 t
\bigcirc b. y_{p}=a t e^{t} \sin 2 t
\bigcirc c. y_{p}=a e^{t}(\sin 2 t+\cos 2 t)
\bigcirc d. y_{p}=e^{t}(a \sin 2 t+b \cos 2 t)
\bigcirc e. y_{p}=t e^{t}(a \sin 2 t+b \cos 2 t) \times
Sua resposta está incorreta.
A resposta correta é: \boldsymbol{y}_{p}=\boldsymbol{e}^{t}(\boldsymbol{a} \sin 2 t+b \cos 2 t)

Passo 1

O enunciado pede a forma de uma solução particular para a equação
y'' + 2y' - 3y = e^{t}\sin 2t.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O membro não-homogêneo é e^{t}\sin 2t.
  • Queremos escolher, dentre as opções dadas, a forma apropriada para y_{p} (a solução particular).
  • As opções incluem formas com fatores e^{t}, t e^{t}, combinações \sin 2t e \cos 2t, e constantes multiplicativas.

Passo 2

Breve explicação do método que usamos (undetermined coefficients) e por que ele funciona aqui.
Quando o lado direito é uma função do tipo e^{\alpha t} multiplicada por polinômio em t, por \sin(\beta t) ou \cos(\beta t), uma boa tentativa para a solução particular é
y_{p}(t)=e^{\alpha t}\big(A\cos(\beta t)+B\sin(\beta t)\big),
onde A e B são constantes a determinar. A razão é que derivando esse tipo de função obtemos combinações lineares das mesmas funções e^{\alpha t}\cos(\beta t) e e^{\alpha t}\sin(\beta t), então é possível igualar coeficientes e resolver para A,B.
No entanto, existe um detalhe: se o número complexo \alpha+i\beta for raiz do polinômio característico da parte homogênea com multiplicidade m\ge 1, então devemos multiplicar a tentativa por t^{m} (para evitar ressonância). Vou explicar como checar isso no passo seguinte.

Passo 3

Encontrar as raízes da equação característica da parte homogênea e checar ressonância.
A equação homogênea associada é
y''+2y'-3y=0.
O polinômio característico é
r^{2}+2r-3=0.
Resolvendo:
r=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{-2\pm4}{2},
logo as raízes são r=1 e r=-3. Portanto a solução homogênea é y_{h}=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-3t}.
Agora verifique a possível ressonância: para o RHS temos \alpha=1 e \beta=2, ou seja consideramos o número complexo r=\alpha+i\beta=1+2i. Precisamos saber se 1+2i é raiz do polinômio característico. Como as únicas raízes reais são 1 e -3, e o polinômio tem coeficientes reais de grau 2, a única maneira de 1+2i ser raiz seria se também 1-2i fosse raiz, o que adicionaria duas raízes complexas — mas já sabemos as raízes reais (e são duas). Assim 1+2i não é raiz do polinômio característico. Em termos práticos: apesar de r=1 ser raiz real, o complexo 1+2i não é raiz; portanto não há ressonância que exija fator t.

Passo 4

Aplicando a regra do passo 2 ao nosso caso: como \alpha=1 e \beta=2 e não há ressonância (ou seja, 1+2i não é raiz da característica), a forma apropriada da solução particular é
y_{p}(t)=e^{t}\big(A\cos 2t + B\sin 2t\big),
onde A e B são constantes indeterminadas. Essa é exatamente a forma geral que permitirá, ao substituir na equação diferencial, encontrar A e B.

Passo 5

Por que as outras alternativas estão incorretas (explicando de forma intuitiva):
  • Alternativa (a) y_{p}=a e^{t}\sin 2t: insuficiente porque, ao substituir, geralmente aparece mistura de \sin e \cos; precisamos de dois constantes independentes A e B, não apenas um escalar.
  • Alternativa (b) y_{p}=a t e^{t}\sin 2t: introduz um fator t desnecessário — só seria necessário se 1+2i fosse raiz do polinômio característico (ressonância), o que não é o caso.
  • Alternativa (c) y_{p}=a e^{t}(\sin 2t+\cos 2t): forma rígida que mistura as constantes de maneira fixa; é equivalente a e^{t}(a\sin2t+a\cos2t), ou seja só tem uma constante efetiva, não duas independentes, então é insuficiente.
  • Alternativa (e) y_{p}=t e^{t}(a \sin 2t+b \cos 2t): novamente inclui o fator t sem necessidade (só necessário em caso de ressonância).
  • Alternativa (d) y_{p}=e^{t}(a \sin 2t+b \cos 2t): tem exatamente a forma correta e^{\alpha t}(A\cos\beta t+B\sin\beta t) com duas constantes independentes e sem fator extra t, portanto é a escolha correta.

Resposta

y_{p}=e^{t}(a \sin 2 t+b \cos 2 t)

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