Encontre a forma de uma solução particular para a equação y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=t^{2}
Escolha uma opção:
\bigcirc a. y_{p}=a_{2} t^{2}
\bigcirc b. y_{p}=a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{0}
\bigcirc c. y_{p}=t\left(a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{0}\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a forma de uma solução particular para a equação
y'' + 2y' - 3y = t^{2}
Fornecem três opções de formas candidatas:
\text{(a) } y_{p}=a_{2} t^{2} \qquad \text{(b) } y_{p}=a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{0} \qquad \text{\text{(c)} } y_{p}=t\bigl(a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{0}\bigr)
Informações relevantes que o enunciado dá:
  1. O termo não-homogêneo (lado direito) é o polinômio \,t^{2}, de grau 2.
  2. A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Vamos olhar primeiro para a equação homogênea associada e seus autovalores (raízes do polinômio característico). A homogênea é
y''+2y'-3y=0
o polinômio característico é
r^{2}+2r-3=0.
Resolvendo:
r=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{-2\pm4}{2},
logo as raízes são
r_{1}=1,\qquad r_{2}=-3.
Observação importante: a raiz r=0 NÃO aparece entre as raízes; ou seja, r=0 não é raiz do característico (multiplicidade 0).

Passo 3

Explicando a ideia do método das coeficientes determinados (didático):
  • Quando o termo não-homogêneo é um polinômio de grau n (aqui n=2), a primeira tentativa natural para y_{p} é um polinômio de grau n,
    ou seja y_{p} = a_{n}t^{n}+\cdots+a_{1}t+a_{0}.
  • Porém há uma exceção: se r=0 for raiz do polinômico característico (ou seja, se e^{0t}=1 já for solução da homogênea), então a forma polinomial de grau n “ressona” com a homogênea e é preciso multiplicar por uma potência de t para obter uma forma válida. Se r=0 for raiz de multiplicidade m, multiplica-se por t^{m}.
  • No nosso caso o lado direito é polinomial de grau 2 e vimos no Passo 2 que r=0 não é raiz. Portanto não há ressonância com t^{k} e não precisamos multiplicar por t.

Passo 4

Aplicando a regra do Passo 3: tentar um polinômio de grau 2\), \[y_{p}=a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}.
Agora mostro que essa forma é compatível com a equação (calculemos derivadas e substituímos):
y_{p}'=2a_{2}t+a_{1},\qquad y_{p}''=2a_{2}.
Substituindo em y''+2y'-3y:
y_{p}''+2y_{p}'-3y_{p} =2a_{2}+2(2a_{2}t+a_{1})-3(a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}).
Organizando por potências de t:
y_{p}''+2y_{p}'-3y_{p} =-3a_{2}t^{2}+(4a_{2}-3a_{1})t+(2a_{2}+2a_{1}-3a_{0}).
Para que isso seja igual a t^{2} devemos igualar coeficientes das potências de t:
\begin{cases} -3a_{2}=1,\\[4pt] 4a_{2}-3a_{1}=0,\\[4pt] 2a_{2}+2a_{1}-3a_{0}=0. \end{cases}
Esse sistema tem solução (ou seja, conseguimos determinar a_{2},a_{1},a_{0}\]). Por exemplo, \[a_{2}=-\tfrac{1}{3},\qquad a_{1}=-\tfrac{4}{9},\qquad a_{0}=-\tfrac{14}{27},\] mostrando concretamente que um polinômio de grau \(2 serve como solução particular. Isso confirma que a forma geral
y_{p}=a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}
é adequada.]

Resposta

b. y_{p}=a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{0}

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