O termo não-homogêneo (lado direito) é o polinômio \,t^{2}, de grau 2.
A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Vamos olhar primeiro para a equação homogênea associada e seus autovalores (raízes do polinômio característico). A homogênea é
y''+2y'-3y=0
o polinômio característico é
r^{2}+2r-3=0.
Resolvendo:
r=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{-2\pm4}{2},
logo as raízes são
r_{1}=1,\qquad r_{2}=-3.
Observação importante: a raiz r=0 NÃO aparece entre as raízes; ou seja, r=0 não é raiz do característico (multiplicidade 0).
Passo 3
Explicando a ideia do método das coeficientes determinados (didático):
Quando o termo não-homogêneo é um polinômio de grau n (aqui n=2), a primeira tentativa natural para y_{p} é um polinômio de grau n,
ou seja y_{p} = a_{n}t^{n}+\cdots+a_{1}t+a_{0}.
Porém há uma exceção: se r=0 for raiz do polinômico característico (ou seja, se e^{0t}=1 já for solução da homogênea), então a forma polinomial de grau n “ressona” com a homogênea e é preciso multiplicar por uma potência de t para obter uma forma válida. Se r=0 for raiz de multiplicidade m, multiplica-se por t^{m}.
No nosso caso o lado direito é polinomial de grau 2 e vimos no Passo 2 que r=0 não é raiz. Portanto não há ressonância com t^{k} e não precisamos multiplicar por t.
Passo 4
Aplicando a regra do Passo 3: tentar um polinômio de grau 2\),
\[y_{p}=a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}.
Agora mostro que essa forma é compatível com a equação (calculemos derivadas e substituímos):
Esse sistema tem solução (ou seja, conseguimos determinar a_{2},a_{1},a_{0}\]). Por exemplo,
\[a_{2}=-\tfrac{1}{3},\qquad a_{1}=-\tfrac{4}{9},\qquad a_{0}=-\tfrac{14}{27},\]
mostrando concretamente que um polinômio de grau \(2 serve como solução particular. Isso confirma que a forma geral