Encontre uma fórmula que aproxima
usando aproximação linear:
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre uma fórmula que aproxima
usando aproximação linear.”
Informações dadas: a expressão a aproximar é . O enunciado indica usar aproximação linear (ou seja, aproximar por uma reta/tangente). Não há outros dados numéricos; devemos dar uma fórmula em termos de
e
.
Informações dadas: a expressão a aproximar é
Passo 2
O que é aproximação linear (resumo rápido e útil): se
é diferenciável num ponto
, então para pequenos incrementos
temos a aproximação
Aqui
é o valor da função no ponto de expansão,
é a derivada (a inclinação da reta tangente) em
, e
é o deslocamento pequeno. Essa fórmula vem da expansão linear (primeiro termo de Taylor) e é a base para aproximar funções complicadas por retas.
Passo 3
Escolha do formato conveniente: vamos aplicar a fórmula acima tomando a função
e expandindo em torno de
. Assim queremos aproximar
com o deslocamento
. Essa escolha é natural porque
, simplificando a expressão.
Passo 4
Calculando a derivada de
: use a regra do poder (power rule). Para
temos
Explicando a regra do poder: se
então
. Aqui
, então
, daí o resultado acima.
Passo 5
Avalie a derivada no ponto
:
Agora simplificamos
. Portanto
observando que isso exige
para que a expressão faça sentido.
Passo 6
Aplique a fórmula de aproximação linear com
e
:
Substituindo
e
obtemos
Essa é a fórmula aproximada pedida. Lembrete prático: vale quando
é “pequeno” em relação a
e
.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para sentir a coisa: tome
e
. Pela fórmula,
O valor exato (calculadora) é
, então a aproximação linear ficou muito próxima — ótimo sinal de que funciona bem para
pequeno.
Passo 8
Comentários sobre erro e domínio: a aproximação linear é o primeiro termo da expansão de Taylor; o erro é da ordem de
. A segunda derivada de
é
e, por diferença de Taylor, o resto tem forma aproximada
para algum
entre
e
. Portanto quanto menor
, menor o erro (quadraticamente). E lembre-se: não usar quando
porque a derivada ali é singular.