Encontre uma fórmula que aproxima \sqrt[3]{x^{3}+h} usando aproximação linear:

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre uma fórmula que aproxima \sqrt[3]{x^{3}+h} usando aproximação linear.”
Informações dadas: a expressão a aproximar é \sqrt[3]{x^{3}+h}. O enunciado indica usar aproximação linear (ou seja, aproximar por uma reta/tangente). Não há outros dados numéricos; devemos dar uma fórmula em termos de \,x e h.

Passo 2

O que é aproximação linear (resumo rápido e útil): se f é diferenciável num ponto a, então para pequenos incrementos \Delta temos a aproximação
f(a+\Delta)\approx f(a)+f'(a)\,\Delta.
Aqui f(a) é o valor da função no ponto de expansão, f'(a) é a derivada (a inclinação da reta tangente) em a, e \Delta é o deslocamento pequeno. Essa fórmula vem da expansão linear (primeiro termo de Taylor) e é a base para aproximar funções complicadas por retas.

Passo 3

Escolha do formato conveniente: vamos aplicar a fórmula acima tomando a função
f(u)=u^{1/3}
e expandindo em torno de u_{0}=x^{3}. Assim queremos aproximar
f(x^{3}+h)=\sqrt[3]{x^{3}+h},
com o deslocamento \Delta=h. Essa escolha é natural porque f(x^{3})=x, simplificando a expressão.

Passo 4

Calculando a derivada de f: use a regra do poder (power rule). Para f(u)=u^{1/3} temos
f'(u)=\frac{1}{3}u^{-2/3}.
Explicando a regra do poder: se f(u)=u^{n} então f'(u)=n\,u^{n-1}. Aqui n=\tfrac{1}{3}, então n-1=-\tfrac{2}{3}, daí o resultado acima.

Passo 5

Avalie a derivada no ponto u_{0}=x^{3}:
f'(x^{3})=\frac{1}{3}\bigl(x^{3}\bigr)^{-2/3}.
Agora simplificamos \bigl(x^{3}\bigr)^{-2/3}=x^{3\cdot(-2/3)}=x^{-2}. Portanto
f'(x^{3})=\frac{1}{3}x^{-2}=\frac{1}{3x^{2}},
observando que isso exige x\neq 0 para que a expressão faça sentido.

Passo 6

Aplique a fórmula de aproximação linear com a=x^{3} e \Delta=h:
\sqrt[3]{x^{3}+h}=f(x^{3}+h)\approx f(x^{3})+f'(x^{3})\,h.
Substituindo f(x^{3})=x e f'(x^{3})=\dfrac{1}{3x^{2}} obtemos
\sqrt[3]{x^{3}+h}\approx x+\frac{h}{3x^{2}}.
Essa é a fórmula aproximada pedida. Lembrete prático: vale quando h é “pequeno” em relação a x^{3} e x\neq 0.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para sentir a coisa: tome x=2 e h=0{,}1. Pela fórmula,
\sqrt[3]{2^{3}+0{,}1}\approx 2+\frac{0{,}1}{3\cdot 2^{2}}=2+\frac{0{,}1}{12}=2+0{,}008333\ldots=2{,}008333\ldots
O valor exato (calculadora) é \sqrt[3]{8{,}1}\approx 2{,}008321\ldots, então a aproximação linear ficou muito próxima — ótimo sinal de que funciona bem para h pequeno.

Passo 8

Comentários sobre erro e domínio: a aproximação linear é o primeiro termo da expansão de Taylor; o erro é da ordem de h^{2}. A segunda derivada de f é
f''(u)=-\frac{2}{9}u^{-5/3},
e, por diferença de Taylor, o resto tem forma aproximada \dfrac{1}{2}f''(\xi)h^{2} para algum \xi entre x^{3} e x^{3}+h. Portanto quanto menor h, menor o erro (quadraticamente). E lembre-se: não usar quando x=0 porque a derivada ali é singular.

Resposta

\displaystyle \sqrt[3]{x^{3}+h}\approx x+\dfrac{h}{3x^{2}}

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