Questão 4 - (2 pontos) - Calcule a integral abaixo,
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
Informações fornecidas e observações que vamos usar mais adiante:
- Os limites das integrais internas dependem de
e : para cada temos , e para cada par temos . - Esses limites descrevem um conjunto de pontos
que satisfazem . - Portanto a integral corresponde ao volume do sólido descrito pelos limites acima (ou seja, o volume da bola de raio
centrada na origem). - Objetivo final: calcular numericamenete esse volume.
Passo 2
Entender por que a região é a bola de raio
.
Pegamos os limites dados:
Pegamos os limites dados:
isso significa
Para cada com
os limites em
são
Para cada
que equivalem a
, ou seja
.
Logo a região de integração é
Logo a região de integração é
a bola de raio
. A integral é, portanto, o volume de
.
Passo 3
Escolha conveniente de coordenadas para calcular volumes simétricos.
Quando a região é uma bola (simétrica em todas as direções) é muito mais simples usar coordenadas esféricas. Vou apresentar as fórmulas essenciais das coordenadas esféricas e o porquê delas:
Quando a região é uma bola (simétrica em todas as direções) é muito mais simples usar coordenadas esféricas. Vou apresentar as fórmulas essenciais das coordenadas esféricas e o porquê delas:
- Em coordenadas esféricas usamos três variáveis
definidas por
Aqui
é a distância do ponto à origem,
(ângulo polar) é o ângulo entre o vetor posição e o eixo
(vai de
a
), e
(ângulo azimutal) é o ângulo no plano
(vai de
a
).
- Ao mudar de variáveis para integrais de volume precisamos multiplicar pelo determinante da transformação (o jacobiano). Para coordenadas esféricas o fator é
Isso significa que o elemento de volume
se escreve
Breve explicação intuitiva do jacobiano: pequenas variações
geram um paralelepípedo aproximado de volume
; o fator
vem da combinação das dimensões radiais e angulares (pense em anéis e cascas esféricas).
Passo 4
Determinar os limites em coordenadas esféricas.
Como a região é a bola de raio centrada na origem, as variáveis em esféricas variam de forma simples:
Como a região é a bola de raio
-
varia de até (distância do centro até a superfície). -
varia de até (cobre do polo norte ao polo sul). -
varia de até (faz a volta completa no plano ).
Portanto os limites são
Passo 5
Escrever a integral na nova parametrização.
Como a integranda é (estamos calculando volume), a integral tripla se torna
Como a integranda é
Note que trocamos a ordem para
interno porque é natural calcular primeiro a integral radial.
Passo 6
Calcular a integral na variável
.
Começamos pela integral interna:
Começamos pela integral interna:
Expliquei o passo: a primitiva de
é
; avaliando entre
e
dá
.
Passo 7
Calcular a integral na variável
.
Agora integramos o fator com seus limites:
Agora integramos o fator
Outra forma rápida de lembrar: a área sob
de
a
é
.
Passo 8
Calcular a integral na variável
e multiplicar os resultados.
A integral em é trivial:
A integral em
Multiplicando os resultados das três integrais em separado (por separabilidade):
Passo 9
Finalizar a conta e interpretar o resultado.
Multiplicando os fatores obtemos
Multiplicando os fatores obtemos
Esse é o volume da bola de raio
. É uma fórmula clássica: volume da esfera sólida de raio
é
; aqui
dá
.