Questão 4 - (2 pontos) - Calcule a integral abaixo,
\int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} d x
Informações fornecidas e observações que vamos usar mais adiante:
  • Os limites das integrais internas dependem de x e y: para cada x temos -\sqrt{1-x^{2}}\le y\le \sqrt{1-x^{2}}, e para cada par (x,y) temos -\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\le z\le \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}.
  • Esses limites descrevem um conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem \;x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1.
  • Portanto a integral corresponde ao volume do sólido descrito pelos limites acima (ou seja, o volume da bola de raio 1 centrada na origem).
  • Objetivo final: calcular numericamenete esse volume.

Passo 2

Entender por que a região é a bola de raio 1.
Pegamos os limites dados:
-\sqrt{1-x^{2}}\le y\le \sqrt{1-x^{2}}
isso significa -\sqrt{1-x^{2}}\le y\le \sqrt{1-x^{2}}\iff y^{2}\le 1-x^{2}\iff x^{2}+y^{2}\le 1.
Para cada (x,y) com x^{2}+y^{2}\le 1 os limites em z são
-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\le z\le \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}
que equivalem a z^{2}\le 1-x^{2}-y^{2}, ou seja x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1.
Logo a região de integração é
R=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1\},
a bola de raio 1. A integral é, portanto, o volume de R.

Passo 3

Escolha conveniente de coordenadas para calcular volumes simétricos.
Quando a região é uma bola (simétrica em todas as direções) é muito mais simples usar coordenadas esféricas. Vou apresentar as fórmulas essenciais das coordenadas esféricas e o porquê delas:
  • Em coordenadas esféricas usamos três variáveis \rho,\varphi,\theta definidas por
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
Aqui \rho\ge 0 é a distância do ponto à origem, \varphi (ângulo polar) é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z (vai de 0 a \pi), e \theta (ângulo azimutal) é o ângulo no plano xy (vai de 0 a 2\pi).
  • Ao mudar de variáveis para integrais de volume precisamos multiplicar pelo determinante da transformação (o jacobiano). Para coordenadas esféricas o fator é
\text{Jac}(\rho,\varphi,\theta)=\rho^{2}\sin\varphi.
Isso significa que o elemento de volume dV se escreve
dV=\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Breve explicação intuitiva do jacobiano: pequenas variações \Delta\rho,\Delta\varphi,\Delta\theta geram um paralelepípedo aproximado de volume \rho^{2}\sin\varphi\,\Delta\rho\,\Delta\varphi\,\Delta\theta; o fator \rho^{2}\sin\varphi vem da combinação das dimensões radiais e angulares (pense em anéis e cascas esféricas).

Passo 4

Determinar os limites em coordenadas esféricas.
Como a região é a bola de raio 1 centrada na origem, as variáveis em esféricas variam de forma simples:
  • \rho varia de 0 até 1 (distância do centro até a superfície).
  • \varphi varia de 0 até \pi (cobre do polo norte ao polo sul).
  • \theta varia de 0 até 2\pi (faz a volta completa no plano xy).
    Portanto os limites são
0\le \rho\le 1,\quad 0\le \varphi\le \pi,\quad 0\le \theta\le 2\pi.

Passo 5

Escrever a integral na nova parametrização.
Como a integranda é 1 (estamos calculando volume), a integral tripla se torna
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} \rho^{2}\sin\varphi \; d\rho\; d\varphi\; d\theta.
Note que trocamos a ordem para \rho interno porque é natural calcular primeiro a integral radial.

Passo 6

Calcular a integral na variável \rho.
Começamos pela integral interna:
\int_{0}^{1} \rho^{2}\, d\rho = \left[\frac{\rho^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
Expliquei o passo: a primitiva de \rho^{2} é \rho^{3}/3; avaliando entre 0 e 1 1/3.

Passo 7

Calcular a integral na variável \varphi.
Agora integramos o fator \sin\varphi com seus limites:
\int_{0}^{\pi} \sin\varphi \; d\varphi = \left[-\cos\varphi\right]_{0}^{\pi} = -\cos\pi -(-\cos 0)= -(-1) - ( -1)=2.
Outra forma rápida de lembrar: a área sob \sin\varphi de 0 a \pi é 2.

Passo 8

Calcular a integral na variável \theta e multiplicar os resultados.
A integral em \theta é trivial:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Multiplicando os resultados das três integrais em separado (por separabilidade):
\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\, d\varphi\right)\left(\int_{0}^{1}\rho^{2}\, d\rho\right) = (2\pi)\cdot(2)\cdot\left(\frac{1}{3}\right).

Passo 9

Finalizar a conta e interpretar o resultado.
Multiplicando os fatores obtemos
2\pi\cdot 2\cdot \frac{1}{3} = \frac{4\pi}{3}.
Esse é o volume da bola de raio 1. É uma fórmula clássica: volume da esfera sólida de raio R é \tfrac{4\pi R^{3}}{3}; aqui R=1 \tfrac{4\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4\pi}{3}

Exercícios relacionados