Questão 2-(2 pontos) - Com base nos limites de integração, esboce a região de integração e inverta a prioridade de integração.
Passo 1
O enunciado fornece a integral iterada
(observação: interpretei a ordem como
, ou seja, a integral interior é em
com
fixo, porque os limites internos dependem de
). O que se pede:
- Esboçar a região de integração correspondente a esses limites.
- Inverter a prioridade de integração, isto é, escrever a mesma integral com a integração em
feita por dentro e em por fora (forma ).
Informações fornecidas:
-
varia em (limites externos). - Para cada
fixo, varia em (limites internos dependentes de ).
Passo 2
Vamos entender a desigualdade que define a região em palavras: para cada
entre
e
,
vai de
até
. Escrever isso em forma de conjunto:
Isto significa que
é não negativa (porque começa em
) e satisfaz a relação
.
Passo 3
Transformamos a relação
em uma inequação sem raiz para identificar a curva de contorno. Elevando ao quadrado (como
, não há problema em elevar),
Reorganizando os termos:
Dividindo ambos os lados por
:
Isto é a equação (desigualdade) de uma elipse centrada na origem, com semi-eixos: em
tem comprimento
(porque quando
temos
), e em
tem comprimento
(porque quando
temos
, logo
).
Passo 4
Descrição geométrica da região (esboço mental/geométrico):
- A curva de contorno superior é a parte superior da elipse
. - Como
vai de até o valor da raiz, a região é a “metade superior” da elipse (a parte com ). - Pontos importantes:
e estão na borda; o ponto mais alto é .
Se você desenhar a elipse
e sombrear apenas a parte com
, você terá a região
.
Passo 5
Agora vamos encontrar os limites de
para um dado
(isto é, inverter a ordem). Partimos da desigualdade equivalente
Isolando
:
Para que o lado direito seja não negativo (para existir
real), precisamos de
Mas como na região original temos
, o intervalo válido para
é
Para cada
nesse intervalo,
satisfaz
Note: verifique os extremos: para
obtemos
(coincide com os limites originais); para
obtemos
(apenas o ponto superior).
Passo 6
Escrevendo a integral com a ordem invertida (integrar em
primeiro, depois em
), obtemos:
Explicação final: variamos
de
até
; para cada
fixo,
varia entre as abscissas esquerda e direita da elipse, dadas por
.