Questão 2-(2 pontos) - Com base nos limites de integração, esboce a região de integração e inverta a prioridade de integração.
\int_{-1}^{1} \int_{0}^{\sqrt{2-2 x^{2}}} f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado fornece a integral iterada
\int_{-1}^{1} \int_{0}^{\sqrt{2-2 x^{2}}} f(x,y)\,dy\,dx
(observação: interpretei a ordem como \,dy\,dx, ou seja, a integral interior é em y com x fixo, porque os limites internos dependem de x). O que se pede:
  • Esboçar a região de integração correspondente a esses limites.
  • Inverter a prioridade de integração, isto é, escrever a mesma integral com a integração em x feita por dentro e em y por fora (forma \int_{y_{\min}}^{y_{\max}}\int_{x_{\ell}(y)}^{x_{r}(y)} f(x,y)\,dx\,dy).
Informações fornecidas:
  • x varia em -1\le x\le 1 (limites externos).
  • Para cada x fixo, y varia em 0\le y\le \sqrt{2-2x^{2}} (limites internos dependentes de x).

Passo 2

Vamos entender a desigualdade que define a região em palavras: para cada x entre -1 e 1, y vai de 0 até \sqrt{2-2x^{2}}. Escrever isso em forma de conjunto:
R=\{(x,y)\mid -1\le x\le 1,\; 0\le y\le \sqrt{2-2x^{2}}\}.
Isto significa que y é não negativa (porque começa em 0) e satisfaz a relação y\le \sqrt{2-2x^{2}}.

Passo 3

Transformamos a relação y\le \sqrt{2-2x^{2}} em uma inequação sem raiz para identificar a curva de contorno. Elevando ao quadrado (como y\ge 0, não há problema em elevar),
y^{2}\le 2-2x^{2}.
Reorganizando os termos:
2x^{2}+y^{2}\le 2.
Dividindo ambos os lados por 2:
x^{2}+\frac{y^{2}}{2}\le 1.
Isto é a equação (desigualdade) de uma elipse centrada na origem, com semi-eixos: em x tem comprimento 1 (porque quando y=0 temos x^{2}\le1), e em y tem comprimento \sqrt{2} (porque quando x=0 temos y^{2}\le 2, logo |y|\le\sqrt{2}).

Passo 4

Descrição geométrica da região (esboço mental/geométrico):
  • A curva de contorno superior é a parte superior da elipse x^{2}+\dfrac{y^{2}}{2}=1.
  • Como y vai de 0 até o valor da raiz, a região R é a “metade superior” da elipse (a parte com y\ge 0).
  • Pontos importantes: (x,y)=(-1,0) e (1,0) estão na borda; o ponto mais alto é (0,\sqrt{2}).
Se você desenhar a elipse x^{2}+\dfrac{y^{2}}{2}=1 e sombrear apenas a parte com y\ge 0, você terá a região R.

Passo 5

Agora vamos encontrar os limites de x para um dado y (isto é, inverter a ordem). Partimos da desigualdade equivalente
x^{2}+\frac{y^{2}}{2}\le 1.
Isolando x^{2}:
x^{2}\le 1-\frac{y^{2}}{2}.
Para que o lado direito seja não negativo (para existir x real), precisamos de
1-\frac{y^{2}}{2}\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}\le 2 \quad\Longrightarrow\quad |y|\le \sqrt{2}.
Mas como na região original temos y\ge 0, o intervalo válido para y é
0\le y\le \sqrt{2}.
Para cada y nesse intervalo, x satisfaz
-\sqrt{1-\frac{y^{2}}{2}}\le x\le \sqrt{1-\frac{y^{2}}{2}}.
Note: verifique os extremos: para y=0 obtemos x\in[-1,1] (coincide com os limites originais); para y=\sqrt{2} obtemos x\in[0,0] (apenas o ponto superior).

Passo 6

Escrevendo a integral com a ordem invertida (integrar em x primeiro, depois em y), obtemos:
\int_{0}^{\sqrt{2}} \int_{-\sqrt{1-\frac{y^{2}}{2}}}^{\sqrt{1-\frac{y^{2}}{2}}} f(x,y)\,dx\,dy.
Explicação final: variamos y de 0 até \sqrt{2}; para cada y fixo, x varia entre as abscissas esquerda e direita da elipse, dadas por \pm\sqrt{1-\dfrac{y^{2}}{2}}.

Resposta

\int_{0}^{\sqrt{2}} \int_{-\sqrt{1-\frac{y^{2}}{2}}}^{\sqrt{1-\frac{y^{2}}{2}}} f(x,y)\,dx\,dy

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