Se Phi(t) é uma matriz fundamental do sistema, o problema de valor inicial X^prime=A X, X(to)=X, admite a solução X=Phi(t) Phi^-1(t0) Xn (veja o Problema 35, Exercícios 8.5). Nos Problemas 41 e 42, utilize esse resultado para resolver o sistema dado, sujeito à condição inicial indicada.
41. X^prime=(rr4 & 3 3 & -4) X, X(0)=binom11

Passo 1

O problema pede para resolver o sistema de EDOs X'=A X com A=4 & 33 & -4 e condição inicial X(0)=(1,1)^T. O conteúdo envolve sistemas lineares de coeficientes constantes e vamos usar autovalores e autovetores para construir a matriz fundamental.

Passo 2

Para encontrar os autovalores, montamos o determinante det(A-lambda I)=0:
detl(A-lambda Ir) =det4-lambda & 33 & -4-lambda =(4-lambda)(-4-lambda)-3cdot3 =lambda^2-25
Logo, lambda=5 ou lambda=-5.

Passo 3

Agora achamos os autovetores.
Para lambda=5, resolvemos
4-5 & 33 & -4-5 xy =-1 & 33 & -9 xy =00
Da primeira linha -x+3y=0 segue x=3y, então um autovetor é (3,1)^T.
Para lambda=-5, da equação 9x+3y=0 vem y=-3x, escolhemos (1,-3)^T.

Passo 4

A solução geral do sistema é dada pela combinação linear dos autovalores e autovetores:
X(t)=c131e^5t+c21-3e^-5t

Passo 5

Aplicamos a condição inicial X(0)=(1,1)^T. Isso leva ao sistema
c131+c21-3= 11,
o que equivale a
3c1+c2=1, c1-3c2=1
Resolvendo, obtemos c1=tfrac25 e c2=-tfrac15.

Passo 6

Substituindo c1 e c2 na solução geral, concluímos que
X(t)= tfrac6e^5t-e^-5t5[0.3em] tfrac2e^5t+3e^-5t5

Resposta

X(t)= 6e^5t-e^-5t5[0.3em] 2e^5t+3e^-5t5

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