Se
é uma matriz fundamental do sistema, o problema de valor inicial
, admite a solução
(veja o Problema 35, Exercícios 8.5). Nos Problemas 41 e 42, utilize esse resultado para resolver o sistema dado, sujeito à condição inicial indicada.
41.
41.
Passo 1
O problema pede para resolver o sistema de EDOs
com
e condição inicial
. O conteúdo envolve sistemas lineares de coeficientes constantes e vamos usar autovalores e autovetores para construir a matriz fundamental.
Passo 2
Para encontrar os autovalores, montamos o determinante
:
Logo,
ou
.
Passo 3
Agora achamos os autovetores.
Para , resolvemos
Para
Da primeira linha
segue
, então um autovetor é
.
Para , da equação
vem
, escolhemos
.
Para
Passo 4
A solução geral do sistema é dada pela combinação linear dos autovalores e autovetores:
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
. Isso leva ao sistema
o que equivale a
Resolvendo, obtemos
e
.
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral, concluímos que