Encontre a fórmula para a
-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
Passo 1
O enunciado pede a soma parcial até o termo
da série
e depois, se a série infinita convergir, qual é o seu valor. Aqui o conteúdo é a soma de uma série geométrica, portanto vamos reconhecer seus parâmetros (termo inicial e razão) e usar a fórmula da soma parcial.
Passo 2
Identificamos que os termos formam uma progressão geométrica de primeiro termo
e razão
pois cada termo é obtido multiplicando o anterior por
.
Passo 3
A fórmula da soma dos
primeiros termos de uma série geométrica é
Substituindo
e
, obtemos
Passo 4
Para verificar se a série infinita converge, olhamos o limite de
quando
. Como
, o termo
não tende a zero nem a um valor finito; logo
não existe (os parciais oscilam e crescem em módulo). Portanto, a série não converge.
Resposta
A
-ésima soma parcial é
e a série infinita diverge (não possui soma finita).