Encontre a fórmula para a n-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
1-2+4-8-\cdots-(-1)^{n-1} 2^{n-1}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede a soma parcial até o termo n da série
1 - 2 + 4 - 8 + \cdots + (-1)^{n-1}2^{n-1}
e depois, se a série infinita convergir, qual é o seu valor. Aqui o conteúdo é a soma de uma série geométrica, portanto vamos reconhecer seus parâmetros (termo inicial e razão) e usar a fórmula da soma parcial.

Passo 2

Identificamos que os termos formam uma progressão geométrica de primeiro termo
a = 1
e razão
r = \frac{-2}{1} = -2,
pois cada termo é obtido multiplicando o anterior por -2.

Passo 3

A fórmula da soma dos n primeiros termos de uma série geométrica é
S_{n} \;=\; a \,\frac{1 - r^{n}}{1 - r}\,.
Substituindo a=1 e r=-2, obtemos
S_{n} \;=\; 1\;\frac{1 - (-2)^{n}}{1 - (-2)} \;=\;\frac{1 - (-2)^{n}}{1 + 2} \;=\;\frac{1 - (-2)^{n}}{3}\,.

Passo 4

Para verificar se a série infinita converge, olhamos o limite de S_{n} quando n\to\infty. Como \lvert r\rvert = 2 > 1, o termo (-2)^{n} não tende a zero nem a um valor finito; logo
\lim_{n\to\infty}S_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1 - (-2)^{n}}{3}
não existe (os parciais oscilam e crescem em módulo). Portanto, a série não converge.

Resposta

A n-ésima soma parcial é
S_{n} = \frac{1 - (-2)^{n}}{3}
e a série infinita diverge (não possui soma finita).

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