Use um SAC (sistema algébrico computacional) para seguir os passos indicados para as sequências nos Exercícios 135-146.
a. Calcule e então represente graficamente os 25 primeiros termos da sequência. A sequência parece ser limitada superior ou inferiormente? Parece convergir ou divergir? Se ela convergir, qual scrá o limite
?
b. Se a sequência convergir, encontre um inteiro
tal que
para
. Quão longe na sequência você deve chegar para que os termos estejam a menos de 0,0001 dc
?
a. Calcule e então represente graficamente os 25 primeiros termos da sequência. A sequência parece ser limitada superior ou inferiormente? Parece convergir ou divergir? Se ela convergir, qual scrá o limite
b. Se a sequência convergir, encontre um inteiro
Passo 1
O enunciado apresenta a sequência
pede para calcular e plotar os 25 primeiros termos, verificar se a sequência é limitada superior e/ou inferiormente, determinar se converge ou diverge e, em caso de convergência, encontrar o limite
. Em seguida, pede-se um inteiro
tal que
para todo
e outro
para que
. O conteúdo é análise de convergência de sequência e determinação de índices de convergência.
Passo 2
Usando um SAC calculamos os 25 primeiros termos e geramos o gráfico (por exemplo com ListPlot no Mathematica ou plot em Python). Os valores iniciais são:
O gráfico mostra que
cresce até
(onde atinge o máximo
) e depois decai monotonamente. Logo:
– Há limite superior aproximadamente igual a .
– Há limite inferior igual a (pois
e
).
– Há limite superior aproximadamente igual a
– Há limite inferior igual a
Passo 3
Para estudar
usamos o fato de que
cresce muito mais devagar que
. Logo
Portanto a sequência converge e o limite é
Passo 4
Queremos
. Isto equivale a
Resolvendo numericamente, obtemos aproximadamente a raiz
. Para garantir a desigualdade, basta escolher
pois para todo
vale
.
Passo 5
Agora queremos
, isto é
Resolvendo numericamente, chega-se a
. Tomando um inteiro um pouco maior, por segurança, escolhemos
de modo que para todo
tenhamos
.
Resposta
a) Os 25 primeiros termos formam uma sequência limitada inferiormente por
e superiormente por aproximadamente
; a sequência converge e o limite é
.
b) Para vale
. Para
vale
.
b) Para