Use um SAC (sistema algébrico computacional) para seguir os passos indicados para as sequências nos Exercícios 135-146.
a. Calcule e então represente graficamente os 25 primeiros termos da sequência. A sequência parece ser limitada superior ou inferiormente? Parece convergir ou divergir? Se ela convergir, qual scrá o limite L ?
b. Se a sequência convergir, encontre um inteiro N tal que \left|a_{n}-L\right| \leq 0,01 para n \geq N. Quão longe na sequência você deve chegar para que os termos estejam a menos de 0,0001 dc L ?
a_{n}=\frac{\ln n}{n}

Passo 1

O enunciado apresenta a sequência
a_{n} = \frac{\ln n}{n},
pede para calcular e plotar os 25 primeiros termos, verificar se a sequência é limitada superior e/ou inferiormente, determinar se converge ou diverge e, em caso de convergência, encontrar o limite L. Em seguida, pede-se um inteiro N tal que \lvert a_n - L\rvert \le 0,01 para todo n\ge N e outro N para que \lvert a_n - L\rvert \le 0,0001. O conteúdo é análise de convergência de sequência e determinação de índices de convergência.

Passo 2

Usando um SAC calculamos os 25 primeiros termos e geramos o gráfico (por exemplo com ListPlot no Mathematica ou plot em Python). Os valores iniciais são:
a_{1}=0,\; a_{2}\approx0{,}3466,\; a_{3}\approx0{,}3662,\; a_{4}\approx0{,}3466,\;\dots,\; a_{25}\approx0{,}1286.
O gráfico mostra que a_n cresce até n=3 (onde atinge o máximo \approx0{,}3662) e depois decai monotonamente. Logo:
– Há limite superior aproximadamente igual a 0{,}3662.
– Há limite inferior igual a 0 (pois \ln n>0 e n>0).

Passo 3

Para estudar \lim_{n\to\infty}a_n usamos o fato de que \ln n cresce muito mais devagar que n. Logo
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0.
Portanto a sequência converge e o limite é
L=0.

Passo 4

Queremos \lvert a_n - 0\rvert = \frac{\ln n}{n}\le0,01. Isto equivale a
\ln n \le 0{,}01\,n.
Resolvendo numericamente, obtemos aproximadamente a raiz n\approx647. Para garantir a desigualdade, basta escolher
N=648,
pois para todo n\ge648 vale \frac{\ln n}{n}\le0,01.

Passo 5

Agora queremos \frac{\ln n}{n}\le0,0001, isto é
\ln n \le 0{,}0001\,n.
Resolvendo numericamente, chega-se a n\approx116000. Tomando um inteiro um pouco maior, por segurança, escolhemos
N=117000,
de modo que para todo n\ge117000 tenhamos \lvert a_n - 0\rvert \le 0,0001.

Resposta

a) Os 25 primeiros termos formam uma sequência limitada inferiormente por 0 e superiormente por aproximadamente 0{,}3662; a sequência converge e o limite é L=0.
b) Para \varepsilon=0{,}01 vale N=648. Para \varepsilon=0{,}0001 vale N=117000.

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