Use um SAC (sistema algébrico computacional) para seguir os passos indicados para as sequências nos Exercícios 135-146.
a. Calcule e então represente graficamente os 25 primeiros termos da sequência. A sequência parece ser limitada superior ou inferiormente? Parece convergir ou divergir? Se ela convergir, qual scrá o limite L ?
b. Se a sequência convergir, encontre um inteiro N tal que \left|a_{n}-L\right| \leq 0,01 para n \geq N. Quão longe na sequência você deve chegar para que os termos estejam a menos de 0,0001 dc L ?
a_{n}=\left(1+\frac{0,5}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para a sequência
a_{n} = \Bigl(1 + \frac{0,5}{n}\Bigr)^{n}
( 1) calcular e plotar os 25 primeiros termos; ( 2) analisar se ela é limitada acima/abaixo; ( 3) ver se converge ou diverge e, em caso de convergência, determinar seu limite L; ( 4) achar um N tal que \bigl|a_{n}-L\bigr|\le0,01 para n\ge N; ( 5) e ainda saber até onde ir para \bigl|a_{n}-L\bigr|\le0,0001. O conteúdo é sequência e limite de sequência.

Passo 2

Usando um SAC (por exemplo Mathematica, Maple ou Python/Sympy) obtemos os primeiros 25 valores de
a_{n} = \Bigl(1 + \frac{0,5}{n}\Bigr)^{n},
e fazemos o gráfico n\mapsto a_{n} para n=1,\dots,25. Vemos que a_{n} cresce (é estritamente crescente) e se aproxima de um valor em torno de 1,6487. Logo, a sequência é limitada inferiormente (por a_{1}=1,5) e limitada superiormente (não ultrapassa cerca de 1,6487). A partir do gráfico e da lista numérica percebemos convergência.

Passo 3

Da teoria sabemos que
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\tfrac{x}{n}\Bigr)^{n} = e^{x}.
Aqui x=0,5, logo
L = \lim_{n\to\infty} a_{n} = e^{0,5} \approx 1,6487212707\,.

Passo 4

Para \varepsilon=0,01 queremos |a_{n}-L|\le0,01, ou equivalentemente
a_{n}\ge L - 0,01 \approx 1,6387212707.
Testando numericamente (ou resolvendo \bigl(1+0,5/n\bigr)^{n} = L-0,01) encontramos
N = 21
pois para n=21 já se tem \bigl|a_{21}-L\bigr|\approx0,0096\le0,01.

Passo 5

Para \varepsilon=0,0001 queremos
|a_{n}-L|\le0,0001 \quad\Longrightarrow\quad a_{n}\ge L - 0,0001 \approx 1,6486212707.
Usando a aproximação do erro ou resolução numérica, chega-se a
N \approx 2061
para garantir \bigl|a_{n}-L\bigr|\le0,0001 sempre que n\ge2061.

Resposta

a) Os primeiros 25 termos crescem e se “achatam” perto de 1,6487, indicando que a sequência é limitada abaixo (por 1,5) e acima (por e^{0,5}) e converge. O limite é
L = e^{0,5}\approx1,6487212707.
b) Para \bigl|a_{n}-L\bigr|\le0,01 basta n\ge21. Para \bigl|a_{n}-L\bigr|\le0,0001 é necessário n\ge2061.

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